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热量传递的分数阶微分方程模型与数值模拟

李丹  
【摘要】:热量传递是自然界和生产生活中普遍存在的一种物理现象。经典传热学理论建立在整数阶微积分的基础上,对于粘性物质及生物组织,由于热量传递存在时间记忆性和路径依赖性,经典整数阶方程难以精确刻画其中热量的传递规律。通过引入分数阶微分算子,研究了几类分数阶传热模型并进行了数值模拟。首先介绍了分数阶微积分发展历史和研究现状以及常用的分数阶微分算子的定义和性质,回顾了经典热传导模型的分析过程,并介绍了分数阶微积分在传热学中的应用。其次,从理论上研究了一维刚体分数阶热传导模型,在Cattaneo方程中用分数阶算子替换整数阶导数,并引入远程热通量克服分数阶算子的条件限制。基于广义的扩散控制方程构造空间分数阶生物组织热传导方程,采用CrankNicholson六点差分格式,分别对经典Pennes模型(整数阶)和Grunwald-Letnikov分数阶生物传热模型进行数值模拟,从数值分析的角度证明了分数阶模型的合理性。最后,应用广义Fourier定律及正交曲线坐标系下的时间分数阶热传导方程,得到了球坐标系下的时间分数阶热传导方程,研究了实心球体的分数阶传热问题,采用分离变量法得出三重级数形式的解析解。限定初边值条件,取级数的有限项给出了数值解。分析了对阶数?的不同取值,球体温度沿半径变化的规律,说明阶数?对分数阶热传导的影响。通过对分数阶传热方程理论及相关模型的分析,为复杂传热现象研究提供了新的数学工具,特别指出对有时间记忆特性的传热问题,分数阶模型优于整数阶模型。图11幅;表1个;参64篇。


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