关于柯克曼三元系的大集

【摘要】： 在1850年，T．P．Kirkman提出了下列问题：十五个女学生每天排成三列出去散步，能否在一周内使得任意两人不在同一行出现两次。在同一年，J．J．Sylvester进一步提出：这样的安排能否连续安排13周，使得任意三人不在同一行出现两次。这就是著名的Sylvestev 15个女学生问题，这一问题直到1974年才被R．H．F．Denniston借助计算机解决。 “Sylvester 15个女学生问题”是有史以来提出的第一类组合设计的大集问题，这一问题的一般情形(不限制点数为15)称为不相交的柯克曼三元系大集(LKTS)。对这一问题的研究进展一直很慢，到1979年底，Denniston给出了几个小阶数的直接构造及LKTS(v)→LKTS(3v)的递归构造(还需一个附加条件)；期间，S．Schreiber给出了LKTS(33)的构造。这样通过Denniston的3倍构造可以得到一些LKTS存在的无穷类。至此，对柯克曼三元系大集的研究几乎没有新的进展，尤其是再也没有得到新的递归构造。在本文中，我们通过引入广义柯克曼系大集(LGKS)和柯克曼frame超大集的概念(OLKF)，给出了柯克曼系大集新的递归构造和存在结果。我们的主要结论是： (1)存在LKTS(v)，这里 (2)如果对于存在和则对任意的v≡3(mod 6)， v≠21存在LKTS(v)。