图设计的大集

【摘要】：令G是一个有限简单无向(或有向)图。所谓图G的一个图设计(或G-分解)指的是一个对子(X，B)，其中X是K_v(或DK_v)的顶点集，而B是K_v(或DK_v)中一些与G同构的子图(称为区组)的族，使得K_v(或DK_v)中任意两个不同顶点间的无向边(或有向边)恰出现在B的λ个区组中。这样的图设计被记为(v，G，λ)-GD或G-GD_λ(v)。 一个(v，G，λ)-GD的大集，记为(v，G，λ)-LGD或G-LGD_λ(v)，是指K_v(G为无向图时)或DK_v(G为有向图时)中所有与G同构的子图的一个分拆B_1，B_2，…，B_m，使得每个B_j(1≤j≤m)都是一个(v，G，λ)-GD(称为小集)。 本文讨论了一些图的图设计大集的存在性问题。全文共分六章： 第一章 介绍了一些术语和基本概念。给出了关于图设计及其大集存在性的一些已知结果，并列出了本文讨论的主要问题和得到的主要结论。 第二章 研究了三类有向3点链图，即P_3~1，P_3~2和P_3~2，的图设计及其大集问题。在对给定点集上的区组轨道进行了讨论之后，利用差方法对区组轨道分组，采用直接构造和递归构作的方法得到了它们的存在谱。 第三章 对k点链图P_k的图设计大集问题进行了研究。利用有限域得到了一个一般性结果，即对奇素数幂q≥k≥2，存在(q，P_k，k-1)-LGD。此外，进一步研究了4点链图P_4设计的大集问题，对给定点集上的区组轨道进行了讨论，并得到了一些大集存在性结果。 第四章 研究了4点星图K_(1，3)设计的大集问题。讨论了给定点集上的区组轨道。将区组轨道进行分组，给出了v≡5(mod 6)时(v，K_(1，3)，3)-LGD的构作，从而解决了v≡5(mod 6)时(v，K_(1，3)，λ)-LGD的存在性。同时，提出了v≡2(mod 6)时构作(v，K_(1，3)，3)-LGD的一个方法，并用此方法构作了一些大集。 第五章 讨论了5点星图K_(1，4)设计的大集问题。对给定点集上的区组轨 道进行了研究，通过对区组轨道的集组解决了”三3(mod4)时(v，Kl，4，4)- LGD的存在性问题，进而得到了。三3(m od4)时(v，K，，4，习一LGD的存在 谱.同时还给出了一些其它类型参数的大集. 第六章对4长圈C.l设计的大集问题进行了初步研究.讨论了其区组 轨道的分类和计数.提出了利用乘子映射将区组轨道分组的方法，从而得 到了，，二3(mod4)时大集(。，矶，4卜LGD的一些结果.此外，还给出了一些 进一步的例子.