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《山西大学》 2016年
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波动方程的若干控制问题

李慧芬  
【摘要】:在这篇论文中我们主要讨论波动方程的若干控制问题,全文共分为四章.在第一章中主要简述了波动方程控制问题的一些进展情况,并给出了本文主要研究的问题.在第二章中我们考虑如下非柱状区域(?)上n维波动方程:其中u是状态变量,u"代表(?)~2u/(?)t~2,(u~O,u~1)∈L~2(Ω_0)x H~(-1)(Ω_0)是任意给定的初始数据,这里的v是控制变量.通过导出对偶系统的能量衰减估计,获得了原系统的精确边界可控,并给出了控制时刻.在第三章中我们研究下面非柱状区域(?)上一维波动方程:其中u是状态变量,w是控制变量,(u_0(x),u_1(x))∈L~2(Ω_0)×H~(-1)(Ω_0)是任意给定的初始数据.u'=u'(x,t)代表偏导数(?)u/(?)t,u_(xx)=u_(xx)(x,t)是一维的Laplace算子(?)~2u/(?)x~2.通过使用Stackelberg-Nash策略在非柱状区域上建立了一维波动方程的分级控制,采取了在非柱状区域上直接选取乘子的方法,证明了解的存在性和唯一性,并给出了最优系统.在第四章讨论如下的一端带有边界扰动的一维波动方程的稳定性问题:其中u是状态变量,常数q1,是控制输入,d是未知的扰动,u_t表u关于t的偏导数,ux表示u关于x的偏导数.在状态反馈控制设计中使用了Backstepping变换和Lyapunov方法,得到闭环系统与一个非线性的半群相对应,并且证明了在没有外部扰动的时候闭环系统是渐近稳定的.通过Galerkin方法证明了解的存在性和唯一性.另外,也给出了当时间趋于无穷大的时候,带有扰动的闭环系统的能量趋于零.
【学位授予单位】:山西大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2016
【分类号】:O175

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