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《山西大学》 2018年
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线性极限与单项特征标

郑慧娟  
【摘要】:借助E.C.Dade和M.Loukaki在2004年创立的特征标线性极限的理论和技术,本文主要研究了下述关于M-群的三个著名难题:1.Dornhoff的正规单项性猜想:任意M-群的正规子群是否总是M-群;2.Dornhoff的Hall单项性猜想:任意M-群的Hall子群是否总是M-群;3.Lewis的本原特征标次数问题:M-群的极大子群的指数如何控制该子群的本原特征标的次数.为了同时处理上述三个难题,我们首先对线性极限的理论做了一些改进,获得了关于特殊类型的可解群是否为M-群的若干有效判据,并用之来探讨上述Dornhoff的两个单项性猜想和Lewis本原特征标问题.本文第一个主要结果研究了比Sylow塔群更为广泛的一类可解群,获得了该类群是否为M-群的有效判别方法,其中M-群的定义是每个子群均为M-群,而L-群的定义以及符号∝均来源于线性极限理论,见$2.1.定理A.设G为有限群,有一个正规列:1 = G0G1...= G,并满足以下三个条件:(a)|Gi/Gi-1|两两互素,i = 1,...,n;(b)Gi/Gi-1 是 L-群,i = 1,...,n-1;(c)G/Gn-1 是M-群.则以下命题等价:(1)G 为 M-群.(2)Gi∝G,i = 1,...,n.(3)Gn-1∝G.作为应用,本文就该类群证明了 Dornhoff的两个猜想.定理B.假设定理A的条件成立,并且G为M-群,则下述结论成立.(1)G的每个正规子群均是M-群.(2)再进一步假设n = 3,即G = G3,并且G1和G2/G1均为幂零群,则G的每个Hall子群也均为M-群.本文第二个主要结果研究了一类可解群的超可解剩余,据此获得了一类群何时为M-群的充要条件.定理C.设G为有限群,并假设L≤K均为G的正规子群,且满足以下三个条件:(a)G/K超可解,K/L幂零,L有一个正规列:1-L0≤L1≤...≤Ln = L,使得Li/Li-1,i=1,...,n为阶两两互素的交换群;(b)(|L|,|K/L|)=1;(c)|KL|与|G/K|至少一个为奇数.则以下三条等价:(1)G 为 M-群.(2)对任意φ ∈ Irr(L),均有G(φ)/L为M-群.(3)K∝G.作为定理C的应用,同样就此类群我们也考察了 Dornhoff的两个猜想.定理D.假设定理C的条件成立,若G为M-群,则(1)G的每个正规子群均为M-群.(2)当L为交换群时,则G的每个Hall子群也均为M-群.本文第三个主要结果仍然是借助于线性极限,考察了 M-群的极大子群的本原特征标,简化并推广了 M.L.Lewis定理以及I.M.Isaacs和T.Wilde对该定理的加强.我们给出的推广还包含了更多的结构信息,特别地,给出M-群存在一个极大子群不是M-群的充分条件.定理E.设G是M-群,则下述成立:(1)如果H是指数为奇数的极大子群,且存在非线性的本原特征标ξ∈Irr(H),则ξ(1)2 =|G:H|且ξ是强不可约特征标.(2)G含有一个指数为奇数的极大子群,且该子群有非线性的本原特征标,当且仅当G存在一个强单项特征标.应该指出的是,定理中的强不可约特征标的概念是R.Brauer在1977年首次提出的,与特征标的乘法分解理论密切相关,也是值得我们在后续研究中做进一步深入探讨的一类特征标.
【学位授予单位】:山西大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2018
【分类号】:O152.1

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