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基于滑动Kriging插值的无网格局部Petrov-Galerkin法研究

郑保敬  
【摘要】: 无网格法是一种新的求解偏微分方程的数值方法。与基于网格的有限元等方法不同,无网格法用一组点来离散问题的求解区域,直接借助于离散节点来构造近似函数,可以彻底或部分地消除网格的影响,不需要网格的初始划分和重构,已经成为当今计算力学领域的研究热点之一。 无网格局部Petrov-Galerkin法(简称MLPG)是基于局部弱式和移动最小二乘法而形成的,无论是构造近似函数,还是数值积分都不依赖于网格,是完全的无网格法。但是移动最小二乘法所构造的形函数不满足Kroneckerδ函数性质,给边界条件的施加带来了不便,而且容易形成病态方程组,从而影响了该方法的计算效率。本文针对这些问题,采用滑动Kriging插值法构造近似函数,使用Heaviside分段函数作为权函数,建立改进的无网格局部Petrov-Galerkin法。进一步将该方法应用于位势问题、瞬态热传导问题、弹性力学问题和弹性动力学问题。研究工作包括以下内容: 将改进的无网格局部Petrov-Galerkin法应用于位势问题,建立位势问题的基于滑动Kriging插值法的无网格局部Petrov-Galerkin法,并推导了相应的离散方程。该方法具有计算量小、精度高、方便施加边界条件的优点。 在稳态热传导问题的基础上,将改进的无网格局部Petrov-Galerkin应用于瞬态热传导问题,结合瞬态热传导问题的局部Galerkin积分的弱形式,建立瞬态热传导问题的无网格局部Kriging法,并推导了相应的计算公式。 将改进的无网格局部Petrov-Galerkin法应用于弹性力学问题,对其控制方程采用等效积分弱形式,建立弹性力学问题的改进的无网格局部Petrov-Galerkin法,并推导了相应的离散方程。 将改进的无网格局部Petrov-Galerkin法应用于弹性动力学问题,由局部Galerkin积分弱形式得到系统离散方程,时间域采用Newmark积分方法,建立弹性动力学问题的改进的无网格局部Petrov-Galerkin法,推导了相应的计算公式。 为了证明本文建立的改进的无网格局部Petrov-Galerkin法的有效性,本文利用MATLAB语言编制了上述方法的相关程序。数值算例验证了本文方法的正确性和有效性。


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