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球面上偏微分方程的数值求解研究

徐亚博  
【摘要】:本文将立方球体技术引入球面偏微分方程的数值求解之中,该方法既避免了球面 坐标上数值求解偏微分方程的难点,又在数值计算的精度和效能方面有很大的潜力,尤 其是在并行数值计算方面有谱方法不可比拟的优势。 首先本文给出了浅水波方程的六种表达形式,及其一套测试数值求解算例,然后给 出了 cube-sphere 坐标的构造方法,与球坐标、直角坐标系的转换规则,和该坐标系内 相应微分算子的表达式。在此基础上在立方球体坐标系下推导出浅水波方程的形式,使 用 MDQ 方法和四阶 Rung—Kutta 方法,求解该方程,计算了余弦钟绕球平流算例和 Rossby-Haurwitz 算例,并且给出了算例在立方球体坐标系下六个区间的速度矢量的表 达式。为了解决由于边界插值所引起的数值不稳定性,引入了四阶的人工粘性项 ??4 。 ( ) 通过对测试方案的求解和分析,可以看出该方法有如下的优点:(1)完全显式格式(2) 时间上的四阶精度(3)仅仅通过改变一个参数就可以获得空间上的高阶精度(4)易于 在并行的计算机上有效的执行,而且该数值方案有较强的健壮性。 本文是国内首次应用 cube-sphere 技术数值求解球面偏微分方程。本文的工作为数 值天气预报的基础工作向前推进了一步。


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