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《太原理工大学》 2017年
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椭圆偏微分方程边值与逆边值问题的数值方法及稳定性分析

李思卿  
【摘要】:椭圆方程边值问题描述了工程应用中大量的定常态问题,例如弹性力学中平衡问题,导体中的电子密度等。由于问题域及边值条件的复杂性,精确解的求解非常困难,因此对椭圆方程的精确解进行数值近似并且对数值近似的方法进行收敛性分析具有实际意义。而椭圆方程的逆边值问题是在声波散射,层析成像及无损检测等领域出现的一类不适定问题,即测量数据的微小误差会引起解的巨大震荡。因此建立稳定的数值算法并对其进行收敛性分析对实际问题具有指导意义。本论文的工作集中于将基于节点的光滑点插值法和超定Kansa方法应用于求解椭圆方程边值和逆边值问题并且研究所提出数值算法的收敛性。基于节点的径向基函数光滑点插值法被用来求解椭圆方程边值问题。节点形函数通过径向基函数的点插值法构造。基于三角形和四边形背景网格,两种基于节点的光滑域被构造。光滑伽辽金弱形式用来构造离散的系统方程。数值结果显示,和有限元相比,在网格变形严重时,该方法可以得到更高精度,更高收敛率的解。对于能量范数,基于节点的光滑点插值法和有限元分别得到了精确解的上界解和下界解。这说明当精确能量范数未知时,我们可以结合这两种方法对其进行估计。对于椭圆方程逆边值问题,我们基于超定的Kansa方法提出了两种数值算法并证明了算法的收敛性。通过施加等式约束条件来控制柯西边界计算误差,基于三种带权重最小二乘公式的自适应重构算法被提出,这种算法最多只需要三步。自适应算法的收敛性定理在对称正定径向基函数的本核空间内离散点近似理论下得到了证明。为了保证数值稳定性的Tikhnov正则化项在算法建立过程中自然出现,且在收敛性分析过程中可以得到其取值公式。通过在柯西边界上施加二次型约束条件来控制计算误差,椭圆逆边值问题的优化重构方法被建立。逆边值问题的半离散解首先被定义为含有二次型约束的优化问题。半离散解的收敛性定理基于径向基函数的重构希尔伯特空间理论和柯西问题的条件稳定性得到证明。通过在问题域和可测边界上配置点处对半离散解进行离散,我们定义了柯西问题离散的数值解。离散的解定义为有二次型约束的最小二乘优化问题(LSQI问题)。离散解的收敛性定理通过分数阶的抽样不等式得到证明。二维和三维数值结果表明,两种数值算法均可以在不同噪声情况下重构出来稳定的、高精度的数值解。
【学位授予单位】:太原理工大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2017
【分类号】:O241.82

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