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《太原理工大学》 2017年
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李对称分析法在几类偏微分方程求解中的应用

田红霞  
【摘要】:19世纪以来,随着非线性偏微分方程在现实生活中的广泛运用,对非线性偏微分方程求解问题的研究已逐渐成为热点.然而,求解非线性偏微分方程极具挑战性,目前虽然已经提出了许多求解非线性偏微分方程的方法,但由于没有统一的求解非线性偏微分方程的方法,因此我们需要继续寻找更行之有效的方法.本文正是基于此目的,依据李对称方法研究了三类非线性偏微分方程的求解问题,三类偏微分方程分别为:ill-posed Boussinesq方程、二元Camassa-Holm方程和五阶时间分数阶KDV方程.本文首先根据李对称法的基本思想对以上方程进行分析,得到了这些方程的向量场,相似约化,进一步得出这些方程所对应的约化方程.其次,根据幂级数法的相关理论得出了方程的幂级数解.最后,结合隐函数定理证明了所得幂级数解的收敛性.本文的主要内容如下:第一章为绪论,首先简要回顾了偏微分方程(包括分数阶偏微分方程)的研究背景以及求解偏微分方程的几类方法,其次介绍了李对称分析法的研究背景并详细的阐述了李对称方法的基本思想.第二章为预备知识,该部分叙述了与李对称方法以及分数阶微分方程相关的定义.第三章用李对称分析法求解ill-posed Boussinesq方程,本章给出了ill-posed Boussinesq方程的具体表达形式以及所代表的物理意义,并用李对称分析法将ill-posed Boussinesq方程化为常微分方程,最后得出该方程相应的幂级数解,证明了所得幂级数解的收敛性.第四章用李对称分析法求解二元Camassa-Holm方程,同样给出了该方程的具体形式以及物理意义,运用李对称方法获得了二元Camassa-Holm方程的几种不同的约化方程,并且就其中某一个约化方程给出了详细的幂级数解求解过程和收敛性证明过程.第五章用李对称分析法求解五阶时间分数阶KDV方程,结合预备知识中有关分数阶偏微分方程的基础理论对五阶时间分数阶KDV方程进行分析,得出了相应的分数阶常微分方程,并给出了具体的转化过程.最后,根据幂级数法求得了分数阶微分方程对应的幂级数解,且证明了所得幂级数解的收敛性.第六章为总结与展望,本章对全文所做主要工作进行总结,并提出了一些有待解决的问题,且对之后的研究方向进行了展望.
【学位授予单位】:太原理工大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2017
【分类号】:O175.2

【参考文献】
中国期刊全文数据库 前1条
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中国硕士学位论文全文数据库 前1条
1 杨绍杰;时间分数阶KdV方程和耦合KdV方程组的Lie对称分析[D];云南师范大学;2013年
【共引文献】
中国硕士学位论文全文数据库 前3条
1 田红霞;李对称分析法在几类偏微分方程求解中的应用[D];太原理工大学;2017年
2 周春红;分数阶非线性Schr(?)dinger方程的Lie群约化方法研究[D];云南师范大学;2016年
3 韩同耀;李群变换在整数阶和时间分数阶Schr(?)dinger方程中的应用研究[D];云南师范大学;2014年
【二级参考文献】
中国期刊全文数据库 前1条
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【相似文献】
中国期刊全文数据库 前10条
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4 吴凤香,方晓华;函数展成幂级数方法探讨[J];金华职业技术学院学报;2003年04期
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7 李至琳;在幂级数的求和问题中逆向思维的运用[J];黔东南民族师专学报;1997年S1期
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中国硕士学位论文全文数据库 前3条
1 田红霞;李对称分析法在几类偏微分方程求解中的应用[D];太原理工大学;2017年
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3 徐昌贵;关于三类偏微分方程解的研究[D];四川大学;2007年
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