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微分算子实参数平方可积解的个数与谱的定性分析

郝晓玲  
【摘要】:本文主要围绕微分方程实参数平方可积解的个数与谱的定性分析之间的关系开展研究. 我们注意到:由于自共轭算子的谱是实的,自共轭线性算子的谱分析与实参数解形成的零空间有相当紧密的联系.同时由于微分方程实参数平方可积解的个数是由系数决定的,微分算子的本质谱,以及亏指数也只与算子的系数有关,这三者(亏指数、微分方程实参数平方可积解的个数、微分算子的本质谱)之间应该有密切的联系.探讨研究这三者之间的关系是一个十分重要的课题.基于这种考虑,本文采用新的方法,即利用奇异微分方程实参数平方可积解的个数来定性地研究谱的分布. 对于一端奇异的微分算子,著名数学家Weidmann 1987年在他的专著[86]中提出了著名的猜想:对于任意的λ∈I(?),如果微分方程实参数平方可积解的个数“充分多”,区间I中没有本质谱.需要特别注意的是:1996年Remling在[62]中指出了,在,n=2且d=1的情况下,即使对任意的λ∈Ⅰ(?)IR,r(λ)=d=1,I中也可以有本质谱.这个重要的结论说明,仅仅依靠微分方程实参数平方可积解的个数足够多不足以保证本质谱是空的.我们不禁要问,在什么情况下Weidmann猜想成立:即若对任意的λ∈I,有,(λ)=d,需要附加什么样的条件来保证I中无本质谱? 针对上述问题,本文首先对一端奇异微分算子的自共轭域给出一个全新描述,分析了分离边界条件与其它边界条件的关系,并在此基础上通过正则算子逼近,证明了如果对于任意的λ∈I,微分方程有d个平方可积解,那么对于任何一个由微分算式生成的自共轭算子,它的连续谱与I的交集是空的.其次我们给出微分方程的解关于参数λ解析依赖的条件(A)(见定义3.1.2),并证明在该条件成立的条件下:I中无本质谱,换句话说,在区间I中谱是离散的.这样我们对Weidmann在[86]中的猜测给出了一个全面的回答,也就是说在一个区间上微分方程实参数解平方可积解的个数充分多时,加上解对参数λ解析依赖的条件,微分算子在该区间中的本质谱是空的. 接下来我们讨论了两端奇异微分算子实参数平方可积解的个数与谱的分布之间的关系.本文用微分方程实参数解来给出两端奇异的微分算子自共轭域的完全刻画.首先我们给出最大算子域的一个新的分解,其关键点是把两个奇异端点分离开来加以考虑,利用最大算子域中的分段函数,把微分方程在两个奇异端点的实参数平方可积解加以联结.这种分解使得最大算子域的结构清晰,方法统一.即一端奇异(或两端正则)的微分算子也可使用同样的方法处理,仅仅是把正则点的亏指数看成n.通过最大算子域的这种新的刻画,我们运用微分方程的解给出了在奇异点的边界条件和自共轭域的完全刻画. 进一步地.我们研究两端奇异时微分方程实参数平方可积解的个数与微分算子谱的分布之间的关系.首先我们证明了对于两端奇异的微分算子,微分方程实参数平方可积解的个数可以小于等于d,但是也可以大于d(这在一端奇异的情况下是不可能发生的).这一结论说明,在研究谱的定性分析时,两端奇异的情形和一端奇异的情形有本质的不同,两端奇异的情况并不是一端奇异情形下的简单推广.在此基础上我们对于两端奇异的情形运用直和算子的谱理论,十分简明地解决了Weidmann在[86]中提出的开放问题,即证明了如果微分方程实参数平方可积解的个数r(λ)d,则λ是任意自共轭扩张的本质谱;证明了如果对任意的λ∈I(其中I是一个开区间),有r(λ)=d,且微分方程的解关于λ的解析依赖条件(A)成立,则任意自共轭扩张的特征值在I中没有聚点;并且我们发现如果r(λ)d,则λ是任意自共轭扩张的特征值,这意味着当微分方程实参数平方可积解的个数“过于多”时,反而可能会有本质谱.这一结论与一端奇异情形有着本质的不同. 微分算子自共轭域的标准型是研究微分算子边界条件对微分算子特征值分布影响的基础,本文在最后一章分别给出一端奇异的四阶微分算子在d=4(包括两端正则以及两端奇异的情况),d=3以及d=2时自共轭边界条件的标准型.由于在四阶的情形下,标准型的种类非常多,为看清自共轭边界条件的基本特征,我们找到一种统一的办法来得到各种具体的标准型,即我们给出了“基本标准型”的概念,其他标准型可通过对该标准型进行适当的变换得到.


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