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两区间微分算子自伴域的实参数解刻画及谱的离散性

索建青  
【摘要】:本文上要围绕两区间上微分算子自伴域的刻画及几类微分算子谱的离散性展开研究.多年来带转移条件的Sturm-Liouville司题一直受到很多数学、物理工作者的关注,而具有转移条件的问题也可以理解成两区间上问题的一种特殊情形,即两个区间相邻,重合端点处的左右边界条件构成了转移条件.在这一思想的启发下,1986年,Everitt-Zettl在Hilbert空间的直和框架下研究了两区间上二阶Sturm-Liouville问题的自伴实现理论.然而两个区间上的问题不能简单的看成是各自区间上算子的直和,更有趣的、也是更重要的问题是两个区间之间存在某种程度上的关联.因止Everitt-Zettl在文[9]中研究了两区间理论.由于自伴算子的谱是实的,用实参数解刻画自伴域不仅易于找到显式的解更重要的是会产生与谱相关的信息. 本文在Hilbert空间的直和框架下,利用微分方程的实参数解首先给出一端正则一端奇异的两区间上微分算子自伴域的完全刻画.在直和空间中构造自伴算子的一种简单方式就是取每个空间中自伴算子的直和.如果这样得到的自伴算子就是由两区间上微分方程生成的所有自伴算子,那么我们就没有必要建立“两区间理论”.事实上,正如文[9]中所提到的,有许多自伴算子并不只是每个区间上自伴算子的直和,这些“新的”自伴算子涉及到在这两个区间之间的相互作用.这些相互作用可能‘穿过’正则点,也可能‘穿过’奇异点.其中正则自伴相互作用包含解或其拟导数的跳跃,奇异自伴相互作用包含解的拉格朗日括号的跳跃. 接着我们又给出两端奇异的两区间上最小算子的所有自伴扩张的一个显式刻画.这些扩张产生的“新的”自伴算子不只是每个区间上自伴算子的直和也涉及到两个区间之间的相互作用.这样的相互作用是奇异端点之间的相互作用,在内部奇异点处这些相互作用包含了解的拉格朗日括号的不连续跳跃.该结果同样适用于一个端点是正则的或多个端点是正则的情形. 进一步地,在一个新的带有适当乘数参数的Hilbert空间框架下,我们研究了两个偶数阶实系数微分方程的所有两区间自伴实现理论,给出了一端正则一端奇异的两区间最小算子的所有自伴扩张的描述,这些参数与边界条件相互作用产生的偶数阶自伴性问题使得与其关联的实耦合系数矩阵K更具一般性. 在这个新的带有适当乘数参数的Hilbert空间框架下我们又研究了区间端点都是奇异的情形,给出了两端奇异的两区间上偶数阶实系数微分方程的所有两区间自伴实现的描述,得到的自伴边界条件使得与其关联的实耦合系数矩阵K更具一般性.该结果同样适用于一个端点是正则的或多个端点是正则的情形. 文章还研究了一类四阶正则Sturm-Liouville问题的特征值对问题的依赖性.我们得到特征值不仅连续而且光滑依赖于该问题,同时我们还证明了特征值是所有参数(区间端点、边界条件、方程系数和权函数)的可微函数,并且给出了特征值关于给定参数的微分表达式.特征值与特征函数对参数的连续依赖性除了其理论的重要性,对数值计算而言也是十分重要的. 最后我们研究了几类微分算子谱的离散性,首先研究了一类偶数阶自伴微分算子的谱,当微分算子的系数ak(x)由ex的乘方所控制,该微分算子与具有指数系数的对称微分算子相比较,从而得出其谱是离散的结论;进一步当x→∞时,微分算子的系数ak(x)可能随着ex的乘方增大而增大,我们又给出其谱是离散的充分与必要条件.其次研究了一类具指数系数的对称微分算式生成的自伴微分算子的谱,我们得到该类微分算子的系数满足一定条件时,末项系数按照一定的方式趋于无穷大时,其谱是离散的结论.进一步得到不仅末项系数按照一定的方式趋于无穷大时可以决定此类微分算子谱的离散性,而且,中间项和首项系数按照一定的方式趋于无穷大时也可以决定此类微分算子谱的离散性.最后,我们还研究了一类具指数系数的自伴微分算子本质谱的存在范围. 本文共分八章,第一章绪论,介绍本文所研究问题的背景及本文的主要结果;第二章是文中所涉及相关符号,概念以及性质;第三章研究了一端奇异两区间微分算子自伴域的刻画;第四章研究了两端奇异两区间微分算子自伴域的刻画;第五章研究了含内积倍数的一端奇异两区间微分算子自伴域的刻画;第六章研究了含内积倍数的两端奇异两区间微分算子自伴域的刻画;第七章研究了一类四阶正则Sturm-Liouville问题的特征值;第八章研究了几类自伴微分算子谱的离散性.


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