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《内蒙古大学》 2017年
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发展型方程的连续时空有限元方法及其数值模拟

赵智慧  
【摘要】:连续时空有限元方法是一种高精度的数值方法.其对空间变量和时间变量统一进行处理,即不仅用有限元去离散空间变量而且用有限元去离散时间变量,因此相比于经典的有限元方法其更容易获得关于时间的高精度且其理论分析不会随着时间变量离散方式的改变而改变,即其理论分析对任意次的近似多项式都是一致成立的.此外,连续时空有限元方法特别适合于求解波动问题,因为其相应的离散格式具有重要的能量保守性.连续时空有限元方法可分为下面两种情形:1.每个时间层对应着相同的空间剖分;2.每个时间层允许对应不同的空间剖分.对于情形1由于每个时间层的空间剖分都相同,故在整个时间区间引入时空投影算子后易于获得时空有限元解在各种范数下的误差估计.对于情形2由于各个时空片的时空网格结构允许改变,所以其特别适合于无结构网格上的自适应计算.此外,对于情形2在理论分析中分别引入了由勒让德(Legendre)点和洛巴托(Lobatto)点确定的拉格朗日插值多项式及相应的高斯积分准则,并在理论分析中充分的利用了插值多项式的基本性质以及高斯积分的高精度特点,这使得理论分析变得自然易懂而且在更深层次上抓住了时间步有限元方法的本质.此外,不论是情形1还是情形2其连续时空格式往往是无条件稳定的并且其理论分析通常不受时空网格限制,即不需要时间步长和空间网格参数满足一定的条件.本文主要从理论分析和数值模拟两个方面在情形1和情形2下研究了与时间相关的偏微分方程的连续时空有限元方法.第一章是绪论,其主要阐述了连续时空有限元法的研究现状以及本文的研究内容与文章结构.此外,还给出一些本文理论分析所需的预备知识.第二章和第三章分别在情形1下研究了 Sobolev方程(不含对流项)和粘弹性波动方程的连续时空元方法.我们首先构造了原问题相应的连续时空元格式并证明了连续时空解的存在、唯一及稳定性,然后通过引入时空投影算子用相对简洁的理论分析在没有时空网格条件限制的情况下给出了节点处的L2和H1范数估计以及全局L2(L2)和L2(H1)范数估计.最后,我们给出一个无结构网格上的二维数值算例确认了格式的有效性和可行性.此外,数值算例还说明与传统的时间方向用Euler或者Crank-Nicolson(CN)格式离散的有限元方法相比,连续时空元方法更容易获得时空的高精度.第四章在情形1下我们研究了波动方程的连续时空元方法.在本章我们提出了一种新的用连续时空元求解波动方程的方法.我们通过引入勒让德多项式及其相应的高斯积分准则得到与原连续时空格式等价的格式,然后基于此格式分析了近似解的存在唯一性.此外,通过引入时空投影算子给出了近似解在节点处的L2及H1范数估计.最后,给出两个数值算例验证格式的有效性和可行性.与已有的方法相比,这里的分析方法更加简洁易懂并且容易被推广到其它的波动问题.同时我们需要指出的是在粘弹性波动方程和波动方程的求解过程中,我们首先通过引入辅助函数v=ut得到与原问题等价的耦合系统,然后基于此耦合系统构造了连续时空有限元格式,通过求解此格式可以同时获得u和v的高精度.第五章和第六章分别在情形2下研究了 Sobolev方程(不含对流项)和粘弹性波动方程的变网格连续时空元方法.我们首先构造了原问题相应的变网格连续时空元格式,其可以看作是第二章和第三章连续时空元格式的一种延扩.然后通过引入由勒让德点确定的拉格朗日插值多项式及相应的高斯积分准则给出数值解的适定性分析;通过引入由洛巴托点确定的拉格朗日插值多形式及相应的高斯积分给出了近似解的L∞(L2)和L∞(H1)范数估计.此外,在第六章我们还证明若每个时间层的网格满足一些合理的假设,则可以消去收敛性结果中的跳跃项,从而可以获得关于时空的最优阶L∞(L2)范数估计.第七章我们在情形2下研究了变系数的对流占优的Sobolev方程.首先证明了数值解的存在唯一性,然后在没有时空网格限制的情况下给出了最优阶L∞(H1)范数估计.最后,我们分别给出了原问题在连续时空有限元格式和时间间断的时空有限元格式下的数值模拟,数值实验验证了分析的正确性并展示在实际计算中连续时空有限元方法比时间间断的时空有限元方法更加有效.
【关键词】:连续时空有限元方法 时间间断的时空有限元方法 时空投影算子 勒让德多项式 误差估计 数值模拟
【学位授予单位】:内蒙古大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2017
【分类号】:O241.82
【目录】:
  • 中文摘要5-7
  • 英文摘要7-12
  • 第一章 绪论12-19
  • 1.1 连续时空有限元方法的研究现状12-15
  • 1.2 研究内容与文章结构15-17
  • 1.3 预备知识17-19
  • 第二章 Sobolev方程的连续时空有限元方法19-31
  • 2.1 引言19-20
  • 2.2 Sobolev方程的连续时空有限元格式20-22
  • 2.3 Sobolev方程连续时空有限元解的误差估计22-28
  • 2.4 数值算例28-31
  • 第三章 粘弹性波动方程的连续时空有限元方法31-44
  • 3.1 引言31-32
  • 3.2 粘弹性波动方程的连续时空有限元格式32-34
  • 3.3 粘弹性波动方程连续时空有限元解的误差估计34-39
  • 3.4 数值算例39-44
  • 第四章 波动方程的连续时空有限元方法44-61
  • 4.1 引言44-45
  • 4.2 波动方程的连续时空元格式45-50
  • 4.3 波动方程连续时空解的误差估计50-55
  • 4.4 数值算例55-61
  • 第五章 Sobolev方程的变网格连续时空有限元方法61-79
  • 5.1 引言61-62
  • 5.2 Sobolev方程的变网格连续时空有限元格式62-63
  • 5.3 时空有限元解的存在唯一性63-66
  • 5.4 误差估计66-76
  • 5.5 数值算例76-79
  • 第六章 粘弹性波动方程的变网格连续时空有限元方法79-97
  • 6.1 引言79
  • 6.2 粘弹性波动方程的变网格连续时空有限元格式79-80
  • 6.3 数值解的存在唯一及稳定性80-82
  • 6.4 误差估计82-94
  • 6.4.1 全局网格范数下的估计82-91
  • 6.4.2 局部网格范数下的估计91
  • 6.4.3 网格在一些假设下的估计91-94
  • 6.5 数值算例94-97
  • 第七章 对流占优Sobolev方程的变网格连续时空有限元方法97-113
  • 7.1 引言97-98
  • 7.2 对流占优Sobolev方程的变网格连续时空有限元格式及数值解的存在唯一性98-101
  • 7.3 误差估计101-108
  • 7.4 数值算例108-113
  • 总结与展望113-115
  • 参考文献115-123
  • 致谢123-124
  • 攻读学位期间完成的学术论文124

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