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权函数变号的微分算子的谱

高云兰  
【摘要】:常微分算子理论是集常微分方程、泛函分析、算子代数及空间理论等理论、方法于一体的、系统的、内容广泛的数学分支。它是量子力学、数学物理方程及其它技术领域的有力的数学工具。常微分算子理论所研究的主要问题包括:亏指数、谱分析、按特征函数展开、反谱问题、自共轭域的描述等诸多方面。 本文研究了带有权函数的微分算子的谱分析,特别是权函数变号的问题。如果权函数w0,则问题就简化为熟悉的右定问题,该问题一般是在加权的Hilbert空间L~2(I,w)内研究。如果权函数w变号,问题就变得更为复杂,这方面的结果相对较少。为了研究权函数变号的微分算子(即不定的微分算子的谱),本文采取了三种不同的方法:一是引入谱曲线,利用左定问题和相应地右定问题的关系来研究左定问题,在已经建立起来的右定理论的基础上,将具有正的权函数|w|的右定理论“转移运用到”具有不定权函数w的问题;二是利用完备的不定度规空间L_w~2(Krein空间)内的算子理论和方法来研究和处理带有不定权函数的微分算子;三是根据自共轭边界条件的几何结构,分析左定问题对边界的依赖性。 本文的研究成果主要包括:一、利用不定度规空间的基本性质,在经典的Sturm-Liouville算子的基础上,建立了一个与其相关的完备的不定度规空间,该空间对于研究不定的微分算子来说,是一个十分重要的理论框架;二、证明了左定Sturm-Liouville问题对边界条件和区间的依赖性,并且讨论了当区间收缩时,特征值的变化趋势。三、讨论正则的四阶,进而高阶左定微分算子的谱问题,得到自共轭边界条件的四阶(高阶)正则左定微分算子的特征值的分布性质,即:它们的谱均为实数,而且上方无界下方无界,且算子的特征值都可以排序;四、我们研究了一类四阶对称微分算子的下方无界性,如果一个四阶对称微分算子的首项系数在一个正的Lebesgue测度集上是非负的,则其最小算子是下方无界的。五、讨论了奇异的高阶左定微分算子,证明了奇异的左定问题小于本质谱的特征值的存在性及其分布特征。六、进而研究了权函数是自共轭微分算子的谱,利用自共轭微分算子的极大极小原则和谱曲线,讨论了形如Ly=λRy的谱分析。 本文分为六个部分,第一章是引言;第二章给出不定度规空间的谱理论;


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