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关于Weidmann猜想及具有转移条件微分算子的研究

王爱平  
【摘要】:本文围绕微分算子领域中的三个重要问题,即自共轭域、谱分析和具有转移条件的微分算子开展研究。由于自共轭算子的谱是实的,为了研究与谱分析相关的算子的零空间和值域,由实参数解构造的自共轭域的刻画则显得尤为重要,同时我们注意到:微分算子谱的离散性、亏指数以及微分方程τu=λu(λ∈(?))的实参数L~2-解空间的维数都仅仅是由微分算式的系数决定的,这三者之间应有相当紧密的联系。1987年,Weidmann在其专著“Spectral theory of ordinary”[93]中就此提出了著名的猜想:“若对任意λ ∈(μ_1,μ_2)(?),方程(τ-λ)u=0有‘充分多’的属于L~2(a,b)的解,则(μ_1,μ_2)中没有本质谱”。本文在中间亏指数情形下研究了这些在微分算子领域中十分重要的问题,给出了由实参数L~2-解对自共轭域的完全刻画,包括用实参数L~2-解构造了分离的自共轭边界条件。特别是当λ不是特征值时,确定了τu=λu的属于L~2空间的实参数解初始条件所应具有的“标准”形态,据此构造了具有分离边界条件的自共轭算子A_t;并运用不等式估计和算子的强预解逼近证明了:若对任何λ∈(μ_1,μ_2),方程τu=λu的实参数L~2-解空间的维数等于亏指数时,最小算子T_0的任何自共轭扩张A在区间(μ_1,μ_2)中没有连续谱;同时,通过对由两组不同实参数解刻画的自共轭域的结构分析,证明了A的特征值在区间(μ_1,μ_2)中是无处稠密的。本文的结果对Weidmann关于谱分布的猜想给出了一个很好的解答,揭示了实参数解的个数与连续谱存在性的内在联系。 文章还研究了一类为很多数学、物理工作者所关注的具有某种“不连续性”的微分算子,即内部点处具有转移条件的Sturm-Liouville问题,包括它们的自共轭性、特征值以及特征函数系的完备性。我们用自共轭算子


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