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三角范数Archimedean性质的刻画及凸性问题

闫丽霞  
【摘要】: 最近几年,模糊数学已成为模糊最优化和模糊控制及模糊领域中非常重要的工具。它也在模糊集理论中起到重要的作用。通过Zadeh的扩展原理,可以把实数上的算术运算扩展到模糊区间上的算术运算。而这个重要的原理就是基于t-范数。Archimedean性质又是t-范数中的重要性质之一。连续的t-范数可以完全由Archimedean t-范数来刻画,并且Archimedean性质与加法生成元和乘法生成元也有非常紧密的联系,等等.如能清晰的刻画出Archimedean性质,必将对t-范数的发展起到推动作用。系词不仅在概率理论和统计中起重要作用,而且在其他需要输入数据的集合中起到重要作用。象多元决策的制定,概率度量空间等等,而且结合系词还是熟知的三角范数的子类。而本文中提到的公开问题的解决将会产生全新的结合系词的刻画。 本文主要讨论了三角范数的Archimedean性质的刻画和三角范数的凸性问题。前半部分回答了三角范数的凸性问题,得出了以下的结论: (1)对于严格的连续的Archimedean t-范数,可以证明对所有x∈[0,1]和所有α∈]0,1/2[T(max(x-α,0),min(x+α,1))≤T(x,x)(*)当且仅当t是凸的总是成立的。 (2)对于幂零的连续的Archimedean t-范数,对所有x∈[0,1]和所有α∈]0,1/2[T(max(x-α,0),min(x+α,1))≤T(x,x)(*)当且仅当t是凸的不一定成立。并在削弱条件的情况下,又进行了讨论。后半部分刻画了Archimedean性质,得到了以下重要的定理: (1)若连续的t-范数T满足CCL且无零因子,则T是Archimedean的。 (2) T是连续的Archimedean t-范数且无零因子,则T是严格的。等。并做了推广。最后一部分做了总结。


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