两类非线性发展方程及平面弹性力学方程边值问题的精确解

【摘要】：本文首先求解了具任意次幂非线性项的组合KdV方程u_t+au~pu_x+bu~(2p)u_x+δu_(xxx)=0和广义Boussinesq方程u_(tt)+a/ax(u_x+au~pu_x+bu~(2p)u_x+ru_(xx)+δu_(xxx)=0的若干精确孤立波解。为了克服方程中非线性项的任意次幂，我们采用的方法是首先根据方程的特点，做适当的变换，使原问题转化为常微分方程的问题，其次对该常微分方程再进行各类变换，如辅助函数法以及待定系数法……。通过这些一系列的变换和计算机代数系统Mathematica求得两类方程的钟状和扭状精确孤波解。方法为深入研究求解具有任意次幂非线性项的数学物理方程具有参考价值。 其次我们探讨了对称方法在力学方程边值问题中的应用。用对称方法成功求解了(1)半无限平面受有法向集中力作用问题；(2)楔形体在楔顶受力问题。对称方法的应用可以避免逆解法的不确定性，从而说明了对称方法可用于更广泛的力学问题中。众所周知对称方法在微分方程边值问题，尤其力学问题上的应用研究还不深入，如何更有效的发挥对称方法的优点，设计更适合边值问题的算法仍然需要深入研究。本文的结果仅仅是对该问题的初步探讨。