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几类不连续微分算子的研究

孔欢欢  
【摘要】：本文研究区间内部具有不连续点的微分算子问题,问题分为两部分讨论.第一部分研究具有混合边界条件和带有有限个一般形式转移条件的高阶微分算子问题.由于区间内部有多个不连续点,所以在不连续点都附加转移条件加以连接.结合转移条件构造了新的Hilbert空间,在此空间中,定义了与转移条件相关的最大算子和最小算子,得到了具有有限个转移条件和混合边界条件的高阶微分算子自共轭性的充要条件;进一步,使用分段定义的微分方程的基本解,将特征值问题转化为整函数的零点问题,证明了问题的特征值是整函数的零点,得到特征值的充要条件,并证明了特征值最多只有可数个,而且它们不可能有有限值聚点;进而,构造了该不连续微分算子的Green函数,证明了其逆算子是紧的,其特征函数系是完备的.第二部分探讨权函数变号且两边界条件带有谱参数的不连续Sturm-Liouville问题,主要围绕着问题的自共轭性、特征值以及Green函数展开研究.通过构造与边值问题相关联的完备的不定度规空间,证明了这类微分算子是自共轭的,进一步构造了确定特征值的整函数及Green函数,将特征值问题转化为整函数的零点问题,得到特征值的充要条件.


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