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矩阵值函数的微分与应用

张宁  
【摘要】:矩阵值函数作为一类重要的映射,在以矩阵为变量的优化模型的分析中扮演着至关重要的角色.半定规划问题(SDP),半定锥互补问题(SDCP)与矩阵锥规划问题(MCP)的研究离不开矩阵值函数的的微分性质的讨论.因此,对矩阵值函数的微分性质进行详细研究是非常必要的.本论文主要研究了对称矩阵值函数、奇异值函数、矩阵值Fischer-Burmeister函数的微分性质及其应用. 本论文的主要研究内容概括如下: 1.第二章首先建立了对称矩阵的特征向量矩阵的扰动分析,基于特征向量矩阵的一阶展开讨论了对称矩阵的任意特征值函数的二阶方向可微性并给出了二阶方向导数的具体表示式.同时分别利用以下两种不同的方法给出了奇异值函数的二阶方向导数的表示式: ·利用一个线性算子建立了非对称矩阵奇异值函数与对称矩阵的特征值函数的关系,进而利用特征值函数的二阶方向导数得到一般矩阵的任意奇异值函数的二阶方向导数; ·利用特征矩阵的扰动性质和二阶方向导数的定义直接的给出了任意奇异值函数的二阶方向导数.更重要地,我们利用特征值函数的二阶方向可微性以及二阶方向可微的定义建立了对称矩阵值函数与相应的实值函数的二阶方向可微性的等价关系,并进一步得到了对称矩阵值函数的二阶方向导数的表示式. 2.第三章给出了第二章中重要结论的两个应用.首先,将对称矩阵值函数的二阶方向导数的表示式应用到相对于实值函数f(x):=max{x,0}的对称矩阵值函数ΠS+n(·)(即半正定锥上的投影算子)上得到ΠS+n(·)的一阶和二阶方向导数.利用半正定锥上投影算子一阶和二阶方向导数与半负定锥上切锥和二阶切集合的关系给出了切锥ΥS-n和二阶切集合ΥS-n2表示式,这与[1]中的结论是一致的.然后,应用奇异值函数的一阶和二阶方向导数到了核范数上图的切锥和二阶切集合的表示式,并利用这些结论进一步讨论了由核范数上图诱导的优化问题的“无间隙”二阶最优性条件. 3.第五章详细讨论了矩阵值Fischer-Burmeister函数(FB-函数)的微分性质.我们首先讨论了矩阵值FB-函数的一阶方向可微性并给出了一阶方向导数的表示式.通过建立矩阵值FB-函数的B-次微分与(0,0)点处的方向导数的B-次微分的等式关系,得到了矩阵值FB-函数的B-次微分的具体表达式,再借助Caratheodory定理给出了矩阵值FB-函数的Clarke广义雅可比的表达式.


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