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平环—圆盘复形和三维流形的Heegaard分解的自融合积

郭启龙  
【摘要】:二维流形和三维流形,都是数学中非常基本的研究对象,对于它们(以及四维流形)的研究,形成了低维拓扑学这个数学分支.本文运用了组合拓扑中的方法,分别得到了与二维流形和三维流形相关的一些结果. 由于二维流形的拓扑结构相对较简单,其分类已经完全为大家所清楚,于是与二维流形紧密相关的数学结构一特别是映射类群和Teichmiiller空间,就成了拓扑学家感兴趣的研究对象.近年来,曲线复形的理论逐渐丰富起来,其与映射类群和Teichmiiller空间的关系也越来密切.本文引入了一种新的复形,即平环圆盘复形,它是曲线复形的一个子复形,并且运用组合方法,证明了绝大多数情况下,它作为拓扑空间是可缩的,同时利用已有的结果研究了该复形的几何性质,证明了它在曲线复形里是拟凸的. 组合结构是三维流形上最基本的结构,而Heegaard结构是一种重要的组合结构Heegaard亏格是三维流形的一个基本的不变量,确定一个流形的Heegaard亏格是既重要又有趣的问题.本文主要关心当一个三维流形有两个同胚的边界时,沿着某个同胚映射将这两个边界粘和后所得到的三维流形的Heegaard亏格与原流形的Heegaard亏格的关系.本文对每个粘合映射,定义了复杂度,并证明了在一定的拓扑条件限制下,当映射的复杂度充分大时,粘和后得到的流形的亏格等于比原流形的相对于边界的Heegaard亏格大1.


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