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九参三角形板元研究

何东升  
【摘要】: 有限元的收敛准则要求单元函数满足完备性和协调性,对大量的C_1 连续单元,满足这种要求是比较困难的。为尽可能放松连续性要求、探讨 C_1连续有限元的构造机理和特性、扩大有限元的构造范围、寻求简单元 高效的单元,本文从区域平衡的弱形式开始,逐步得出积分连续条件、弱 连续条件,扩大了有限元的构造范围,得出其平均应变相等的结论。 因为采用最小势能原理在处理非协调元时比较困难,本文采用区域平 衡的观点重新对弹性力学和薄板弯曲基本方程进行了推导,出其加权形 式,这就是相应的微分方程的弱形式,也可以导出相应的能量原理。但它 意味着区域的平衡和连续,而不是逐点的平衡和连续,从而可以方便地放 松连续性要求。 从微分方程的弱形式可以导出单元间的加权积分连续和积分连续条 件,由于积分连续条件下的有限元就可以收敛,反过来说明逐点连续条件 是过强要求。满足这种条件的有限元有拟协调元、广义协调元和双参数法 构造的单元,在一定意义上它们是等价的,并都收敛到常应变。通过构造 拟协调元的单元函数可以方便地得出单元的常应变、节点误差。用分片试 验的要求来进一步放松单元间的连续性,可以得到保证收敛的弱连续条 件,它只包括单元顶点的函数值连续和法向导数积分连续2个条件,从而 扩大了有限元的构造范围。应用弱连续条件,对法向导数不连续的BCIZ 元进行修正,得到了收敛的有限元。 考察弱连续条件下的有限元,结果它们具有相同的平均应变,其它收 敛的有限元、如离散的克希霍夫板元、也具有这种平均应变。本文证明了 如果单元应变可以表示成线性形式,则它收敛于其常应变。BCIZ单元就 是在部分规则网格下满足上述常应变。弱连续下平均应变也可成为对不协 调有限元的改造方法,如修改BCIZ其不正确的常应变为收敛的平均应变 也可得到收敛的有限元。对弱连续条件下四次基底的单元函数,其平均应 变与三次基底的常应变相等,采用三点积分即可得出保证收敛的单元刚度 矩阵,把二次应变拟合为线性应变便可证明这一点。收敛的单元函数的平 均应变都相等的这个性质,可以把它当作检验单元是否在任意网格下的一 个方法,如可以解释BCIZ元在部分规则网格下收敛的现象,也可以用它 大连理工大学博士论文 去改造不收敛的单元。 为构造精度高、简单、计算效率高的单元,文中还构造了两种弱连续 条件下的全三次单元,一种是直角坐标下的几何对称的有限元,另一种是 面积分坐标下的几何非对称有限元,它们的计算结果都很好,但在粗网格 下的效果不很理想。为寻求更好的单元,对常见的和本文构造的共19种 九参三角形板元在任意网格下12种工况进行了数值计算,结果表明:弱 连续条件下的GCll-Tg和离散的克希霍夫板元的计算效果好、计算量小、 列式简单,具有很好的综合性能。


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