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组合序列及其应用

张之正  
【摘要】: 本文研究了组合递归序列的结构性质及应用,内容如下: 1.通过Aigner阵及其逆的第一列,刻画了Catalan-like数偶的概念,讨论了它们的若干性质。特别显示了它在包含各种组合序列的恒等式方面的作用,在此基础上,得到第一类Catalan-like数的Hankel行列式可以用第二类Catalan-like数来表示。此外,还得到了一类特殊的Catalan-like数的类似于Taylor级数展开的结果。 2.在Benaoum在引入的(q,h)-量子变形平面的基础上,首先建立了(q,h)-量子变形平面上的变量的任意次乘积的变换公式,进而给出了多项式定理、二项式反演、Chu-Vandermonde恒等式等结果的(q,h)-模拟以及一对新的双指标级数互反公式。 3.通过考虑单阶梯上标号方块lattice animals的计数问题,引入了一类Fibonacci-like数与Lucas-like数的新概念,讨论了它们的组合性质,得到了此计数问题的均值与均方差的计算方法。此外还考虑了双阶梯上标号方块lattice animals的计算公式。 4.通过引入一类双变量的广义Fibonacci序列,建立了其与Aitken、Secant、Newton-Raphson、Halley等变换的关系,进而给出了Q-矩阵的一个更广泛的推广。此外还建立了涉及两类Chebyshev多项式的恒等式,证明了Melham的一个猜想,推广了Grabner和Prodinger的一个结果。最后,讨论了一类含二阶递归序列求和的敛散性及广义Jacobsthal多项式的一个推广。 5.建立降阶递归法,并用这种方法得到广义Fibonacci-Lucas数、Euler数、Genocchi数等的多重卷积求和的封闭公式,进而得到了若干Riemann Zeta函数与Beta函数的恒等式以及一类lattice animals的高阶累积量的计算公式。 6.定义三类(左、右、对称)广义Pascal矩阵,讨论了它们的相互联系以及广义对称Pascal矩阵的Cholesky分解,并且得到广义右Pascal矩阵的对角化与一类递归序列具有紧密的联系。 7.建立一类包含序列与二项系数部分和的组合恒等式,得到许多新的奇异的组合恒等式。 大连理工大学博士学位论文


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