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《大连理工大学》 2002年
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互补问题的有效算法研究

张培爱  
【摘要】: 本文主要研究求解互补问题的有效算法。从20世纪60年代互补问题的提出到现在,尤其是最近20多年来,互补问题发展非常迅速。并且出现了各种形式的互补问题。互补问题被广泛地应用于工程、经济和运筹学中。对互补问题的研究可以分为理论和算法。前者主要研究问题解的存在性、唯一性、稳定性以及灵敏度分析等性质。后者集中研究如何构造有效算法及其理论分析。本文旨在有效算法方面的研究。 第一章概述了互补问题的各种形式及其在工程、经济和运筹学中的应用,同时分类介绍了求解互补问题的几种主要算法,并将作者的工作穿插在相关算法里做了简要介绍。 第二章首先介绍了信息论中的熵、最大熵原理、最小叉熵原理。然后针对带不等式约束的非线性规划问题,给出一个Lagrange正则化(摄动)方法,该方法有效地克服了线性Lagrange函数难于在对偶变量空间直接求解的困难。文中分别以Shannon熵函数和Kullback叉熵函数作为摄动函数,导出其对偶函数分别是原问题的指数罚函数和指数乘子罚函数。这样就在Lagrange摄动和指数罚函数之间搭起了一座桥梁。然后文中把这种方法应用到有限维极大极小问题的一个等价非线性规划问题,得到了相应的光滑函数,且与用最大熵原则和最小叉熵原则得到的凝聚函数相同。 由于求解线性互补问题的内点法可以看作是线性规划原-对偶内点法的一个自然推广,在第三章开头首先介绍了内点法。然后,基于极大极小问题的均衡作用,构造了一个新的效益函数(势函数),并以其梯度为零代替一般内点法中的互补条件方程。鉴于该效益函数是非光滑的,不便于操作,使用前一章给出光滑函数做了光滑处理,而得到的光滑效益函数是一个凸函数。与一般内点法中的摄动互补条件相比,其最优性条件含有一组中心化参数。这组参数利用上一个迭代点的信息对当前步向中心路径进行调整,文中称之为自调整作用。基于这组方程,文中建立了一个求解线性互补的不可行内点算法,并分析了它的多项式复杂度。数值结果表明参数起到了自调整作用。 第四章细化了Chen-Xiu求解线性互补问题的一步非内点延拓算法,并且推广到非线性互补问题。得到了与Chen-Xiu同样的全局线性收敛,推广了Chen-Xiu的局部超线性收敛到局部二次收敛。在一定意义下,光滑化函数是延拓算法的核心。本章尝试用叉熵函数来光滑化极小化NCP函数。建立了一个求解单调线性互补问题的非内点延拓算法。其数值结果非常好,部分的好于文中提到的不可行路径跟踪算法。在这一章的最后,把mid(.)函数重新表述,并用Shannon熵函数光滑化。文中讨论了得到的光滑函数的性质,给出一个求解一类混合互补问题的非内点预估-校正延拓算法,并分析了其全局收敛性。 基于非线性互补问题的一个等价不动点格式,第五章分别用Shannon熵函数和Kullback熵函数光滑化max函数。文中分别给出了两个迭代算法,并与Paul Tseng的外梯度投影法进行了数值比较。 在内点法中,采用不同的代数等价路径形成了通向最优解的不同轨迹。虽然Fang-Puthenpure、Tuncel-Todd、Wright等都认识到这个问题的重要性,但目前这方面的工 大连理工大学博士论文 作还很少。讨论了基于对数变换的代数等价路径,并构造了一个不可行的大步长路B 踪算法,并分析了它的复杂度,而且数值结果也是令人满意的。与此同时,分析了该方 法与Peng等人近期工作的联系,发现互补抓的右端可表示成嫡函数的负梯度。并且 证明,由Peng等人提出的自正则邻近度量函数方法(缩减了大步长 民踪算法的复 杂度),也可以通过等价代数变换得到。 第七章通过计算验证了文中提出的几个算法。首先,对文中提出的不可行路经跟 踪算法3.3、算法6.1与Zhans Yin的不可行路经R瞬算法进行了数值比较。其次,给 出了第四章中用Kullback叉嫡光滑化NCP函数的一个非内点延拓算法4.2的数值结果。 最后,对基于 Shannon嫡光滑化和 Kullback叉嫡光滑化的迭代算法与 Paul Tseng的外 梯度法进行了数值比较。 最后,作者总结了全文,并对下一步的研究工作做了展望。 -’·—,’一———-————””’””—”””-—”——”’——-唇
【学位授予单位】:大连理工大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2002
【分类号】:O221

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【引证文献】
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【参考文献】
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【共引文献】
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【同被引文献】
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中国硕士学位论文全文数据库 前4条
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【二级引证文献】
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【相似文献】
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中国硕士学位论文全文数据库 前10条
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4 王学斌;有限维变分不等式及互补问题的有效算法研究[D];桂林电子科技大学;2010年
5 吴源;互补问题的解法研究[D];西北大学;2001年
6 袁泉;隐互补问题[D];南京航空航天大学;2002年
7 杨少君;一类随机互补问题的算法研究[D];西安电子科技大学;2011年
8 李娟;F-互补问题的算法设计[D];南京航空航天大学;2010年
9 贾宗伟;求解互补问题的一类修正的广义拟牛顿法[D];辽宁师范大学;2012年
10 唐锦萍;不适定问题的拟光滑化方法及其应用[D];哈尔滨工业大学;2010年
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