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优化中空间分解方法的某些研究结果

庞丽萍  
【摘要】:本文主要研究非线性规划中的一类空间分解方法,包括适于并行的光滑和非光滑空间分解方法、适于串行的非光滑分解方法。给出各种方法的收敛性及收敛速度定理的证明,并对其中的一类空间分解方法给出数值试验。 本文取得的主要结果属于理论性的,可概括如下: 1.在第二章中,我们在综述已有研究工作的基础上给出一种空间分解原理,引进算法映射等概念,把算法看成是点到集合的映射(集值映射),给出一个空间分解方法的统一结构与描述,对不同的具体集值映射构造出适于串行的、适于并行的异步及同步空间分解方法,并且应用集值分析,对各类方法形成一般的收敛理论,即利用闭映射的概念来证明算法的主要收敛性定理,使得该理论在包含已知的收敛结果的同时,提供了几个新的结果。最后在这个统一结构中给出具体的空间分解方法,如并行梯度分布(PGD)法、并行变量分布(PVD)法、Jacobi块法、并行变量变换(PVT)法,uv-分解法等算法。 2.在第三章中,首先给出几种非单调PVT算法及其收敛性定理,然后利用负曲率方向和二次曲线搜索,给出了非凸无约束规划的二阶PVT算法,证明了算法的收敛性定理。最后,给出相应的数值试验,及数值试验结果。 3.研究非光滑分解算法及其收敛性是本文的一个主要工作,在第四章中,利用Moreau-Yosida正则化,给出一种无约束PVT-MYR算法,并证明了算法的收敛性定理及收敛速度定理。给出了具有块状结构约束的非光滑PGD算法及其收敛性。对于具有不可分离约束集的非光滑问题,给出了非精确PVD算法及相应的收敛性定理。最后,利用次梯度投影给出非光滑约束PVT算法及其收敛性定理。 4.由于非光滑函数自身的特点,它的二阶展开不易得到,难于构造出快速优化方法。在 第五章中,我们利用凸函数的uv-分解理论,对一类D.C.函数进行uv-分解,利用u-Lagrange函数,给出D.C.函数的二阶展开式,从而给出无约束和约束D.C.规划的空间分解算法,即uv-分解算法,并证明算法是超线性收敛的。


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