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代数函数逼近及其在微分方程数值解中的应用

高峰  
【摘要】:代数函数论是一古老的数学分枝。在18世纪后半期,曾是许多最卓越的数学家的研究重点。在沉寂了一段时间之后,又以现代的形式复兴起来。并且,牵连着一些新的重要问题。古典代数函数论的研究对象,是以代数关系式 f(x,y)=0 (1)联系着的两个变量(x,y)的有理函数φ(x,y)。其中f(x,y)=0是这两个变量(x,y)的多项式。代数函数论在历史上是由企图把形如 ∫φ(x,y)dx (2)的积分(阿贝尔积分)用有限的形式积出而产生的。古典的代数函数论可以看作是在克莱茵(F.Klein)意义下的一种几何学系统。 本文着重研究代数函数理论在计算数学领域中的问题和应用。文中在某种意义上推广了Padé逼近的定义,给出了任意一个解析函数在一点处的[n,m]级代数函数逼近的定义,并且研究了这种逼近式存在的充分必要条件,以及它与Padé逼近式的关系。本文研究了满足某些特定条件的exp(z)的[n,m]级代数函数逼近式应具有的形式,并给出了exp(z)的多种代数函数逼近式。并且估计其可以达到的逼近阶。 本文利用exp(z)的多个代数函数逼近式来构造常微分方程初值问题及某些偏微分方程定解问题的若干线性及非线性差分格式。并分析其收敛性及稳定性。 对常微分方程初值问题(3)的另外一种要求是考察当t→∞时,解的状态如何。因此,(3)可以看成一个动力系统。本文指出利用exp(z)的代数函数逼近式得到的许多差分格式,在一定程度上可以避免出现伪周期轨道。即其中的若干算法为2-正则算法(R-算法)。 本文利用exp(z)的代数函数逼近式来构造线性Hamilton系统的的辛(Symlectic)数值算法并且利用对角Padé逼近和代数函数逼近,给出了刚性常微分方程组的几个A-稳定的显式算法,并给出了相应的数值例子。 在数值逼近中,有时需考虑函数的最佳一致逼近。任意给定一个闭区间[a,b] 上的连续函数,其在Pn(n次多项式空间)中的最佳一致逼近是存在且唯一的。在 侧n,m)(分子为n次分母为m次的有理多项式空间)中的最佳一致逼近也是存在且 唯一的。本文考虑闭区间[a,司上的任一个连续函数的[n,2!级代数函数最佳一致逼 近,并证明了其存在性.另外研究了卜,2!级代数曲线插值间题.证明了平面上满 足一定条件的任意5个结点,可用唯一一条代数曲线插值.并给出了数值例子。


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