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非线性方程精确解和一类空间的凸性与光滑性

于亚璇  
【摘要】:本文主要作了以下三方面的研究:首先,借助于符号计算和吴方法,研究了非线性微分-差分方程的精确解,提出了双曲函数有理展开法和有理形式的展开法,并推广了非线性发展方程的椭圆函数有理展开法。其次,在Hirota双线性算子推广到超对称的情形下,给出了许多重要的超对称双线性恒等式,并应用它们求得了B(?)cklund变换和孤波解。最后,为了今后在更广泛的空间中研究非线性问题,我们讨论了局部凸空间中凸性与光滑性之间的关系。 第一章主要介绍了本文所涉及到的学科(包括孤立子理论、数学机械化、局部凸空间的凸性与光滑性等)的起源及发展过程,以及国内外学者在这些方面所做的工作和已经取得的一些成果。最后介绍了本文的主要工作。 第二章主要阐述了求解非线性发展方程的AC=BD模式及其应用。首先给出了c-D对和c-D可积系统的基本理论以及构造c-D对的方法.然后把AC=BD理论应用于微分-差分方程和微分方程的双线性形式,这样就给AC=BD理论增加了新的更丰富的内容。 第三章以符号计算软件Maple为工具研究了微分-差分方程的行波解,孤波解,周期解等。推广了双曲函数展开法,提出了微分-差分方程的双曲函数有理展开法,进一步提出有理形式的展开法,并应用这些方法研究了各类Toda晶格方程、Hybrid晶格方程、Ablowitz-Ladik晶格方程和Volterra晶格方程,得到了丰富的新的精确解。 第四章基于非线性发展方程求解代数化,算法化,机械化的指导思想,以吴方法和符号计算为工具,推广了求解非线性发展方程的椭圆函数有理展开法,求解了反对称NizhnikNovikov-Veselov方程、Davey-Stewartson方程和Hirota-Satsuma耦合KdV方程,得到了丰富的双周期解,周期解和三角函数解。 第五章首先简单回顾了Hirota双线性算子的定义和性质,并把Hirota双线性算子推广到超对称的情况,给出了许多新的重要的超对称双线性恒等式。然后,根据物理意义对方程进行了超对称延拓,并由此研究了N=1的超对称Sawada-Kotera-Ramani方程的B(?)cklund变换和孤波解。 第六章引入半范数族P的S-最简化和P-自反局部凸空间的新概念,证明了半范数族P和它的S-最简化不仅生成X上相同的局部凸分离拓扑,而且具有相同的凸性和光滑性,讨论了P-自反与自反的关系,并指出当X是赋范线性空间时,P-自反和自反是


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