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一些组合数的对数凸性和对数凹性的组合证明

叶明玉  
【摘要】:对数凸性和对数凹性的研究对了解组合序列的分布是有益的,这是获得不等式的丰富源泉,而且在统计中特别有用。在组合学,代数学,分析学,几何学,计算机科学和概率统计学中很多著名的序列都具有对数凹性和对数凸性。近些年来,对这个问题的研究非常活跃。Stanley在[43]中对研究对数凹性问题的一般方法作了详细的阐述。2006年,Liu和Wang在[28]中讨论了对数凹性和对数凸性之间的异同点,并且给出了研究对数凸性问题的一般方法。至今,研究对数凹性和对数凸性的方法包括经典分析学,线性代数学,Lie代数表示论,代数几何学和Total Positivity理论。由于我们是基于组合背景研究序列的对数凹性和对数凸性,因此我们希望给序列的对数凹性和对数凸性一些组合解释。本文主要用格路,Dyck路和反射原理证明序列的对数凸性和对数凹性及其相应的q-对数凸性和q-对数凹性,并得到一些新的保对数凸性的线性变换。 本文安排如下: 1.第一章着重介绍对数凸性和对数凹性研究的背景及其发展情况,并简单叙述本文所需的概念及符号。 2.第二章主要讨论利用格路,Dyck路和反射原理证明序列的对数凸性和对数凹性一般性方法,其中第一节主要介绍大Schroder数,中心Delannoy数,Fine数等的对数凸性,第二节介绍普通Delannoy数的对数凹性及Simion猜想的推广。 3.第三章介绍q-对数凸性和q-对数凹性,并建立q-对数凸性和线性变换保持对数凸性之间的联系。


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