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若干图的Ramsey数研究

孙永奇  
【摘要】:Ramsey理论是离散数学的一个重要分支,而图的Ramsey数研究是Ramsey理论的一个主要研究方向。Ramsey理论在很多领域都有应用,包括:数论,代数,几何学,拓扑学,集合论,逻辑学,信息论和理论计算机科学等。Ramsey数的确定是NP困难的。到目前为止,仅得到少数图的Ramsey数的准确值。计算机技术的应用使图的Ramsey数研究成为当前Ramsey理论研究中最活跃的领域。本文将计算机构造性证明与数学证明相结合,对偶圈C_(2m)的r色Ramsey数R_r(C_(2m))的下界,圈的三色Ramsey数和图的平面Ramsey数这三个问题进行研究。 1990年,Graham,Rothschild和Spencer在《Ramsey Theory》中证明了:R_r(C_(2m))≥(r-1)(m-1)+1。本文给出了两种对完全图的r-着色方法,从而证明了R_r(C_(2m))≥max{(r+1)m-1+(r mod 2),2(r-1)(m-1)+2}。特别地,当r=3时R_3(C_(2m))≥4m。已有的结果R_3(C_6)=12和本文的结果R_3(C_8)=16表明:当m=3和4时,等号成立。 当m≤7时,圈的三色Ramsey数R_3(C_m)的值已经确定。本文研制了构造不含圈C_m的临界图算法和对一个图的所有边进行两着色的算法。利用这两种算法,证明了R_3(C_8)=16;对m_2≤m_1<m_0≤7给出了R(C_(m_0),C_(m_1),C_(m_2))的值。1976年,Erd(?)s等证明了:当m足够大时,R(C_m,C_3,C_3)=5m-4和R(C_m,C_4,C_4)=m+2。本文对m不是足够大的情形进行研究,证明了:当m≥5时,R(C_m,C_3,C_3)=5m-4。利用上述算法,证明了:当m≥11时,R(C_m,C_4,C_4)=m+2。并证明了:R(C_m,C_4,C_4)=12(5≤m≤8)和R(C_m,C_4,C_4)=13(9≤m≤10)。 1969年,Walker首先提出了平面Ramsey数PR(H_1,H_2)的概念。Bielak和Gorgol证明了PR(C_4,K_5)=13,PR(C_4,K_6)=17和PR(C_4,K_l)≥3l+「(l-1)/5」-2(l≥3)。本文研制了计算平面Ramsey数PR(H_1,H_2)的算法。利用这个算法,证明了PR(K_4-e,K_5)=14,PR(K_4-e,K_6)=17和PR(C_4,K_7)=20。对其中的PR(K_4-e,K_5)=14和PR(C_4,K_7)=20还给出了数学证明,同时证明了:当l≥3时,PR(K_4-e,K_l)≥3l+「(l-1)/4」-2。


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