近似束方法及其应用

【摘要】：束方法目前被公认为是解决非光滑优化问题的最有效和最有前景的方法之一[1]。他们已经被成功地应用到众多实践领域，如：经济、机械、工程以及最优控制方面。对束方法的研究涉及凸分析，线性和非线性规划，非光滑分析等数学分支。本论文主要研究了近似束方法在解决非光滑优化问题中的使用以及它们在解决MPECs问题和变分不等式问题中的应用。 本文取得的主要结果属于理论性的，可概括如下： 1．第二章中，基于某些函数值不易求得的事实，利用目标函数的近似函数值和近似次梯度构建了一种对目标函数的分片线性近似模型，该模型位于目标函数的下方。通过与前人给出模型的比较，我们的模型更接近于真实函数，也就是对目标函数的近似程度更好。利用构建的近似模型可获得一个可能的下降方向，而寻找下降方向的问题又可以转化成一个二次规划来研究，大大降低了问题的难度。本论文的三，四，五，六章均是在这类模型构建的基础上展开研究的。 2．在第二章的基础上，提出了一种解决非光滑无约束优化问题的迫近束方法。首先应用构建的近似模型找到可能的下降方向，之后给出保证内循环有限步终止的下降步条件和零步条件，使迭代或者产生下降步或者产生零步。算法后的收敛性分析证明了即使每次迭代使用的均是非精确函数值和次梯度值，所给算法仍会收敛到原问题的最优解。同样基于上述假设，对于非光滑凸约束优化问题又提出了一种不可行束方法。该方法将原始凸约束优化问题转化成对改进函数的无约束优化问题的研究。但是随着新的下降步迭代点的产生，改进函数需要重新定义。该方法保证即使选取的初始点和迭代过程中产生的下降步迭代点不可行，所产生序列仍会收敛到原问题的最优解。 3．第四章中，将函数的Moreau-Yosida正则化，束思想与拟牛顿相方法结合提出了一种解决非光滑无约束优化问题的可执行算法。该方法首先将非光滑无约束优化问题转化成Moreau-Yosida正则化函数的最小化问题，进而采用束方法对Moreau-Yosida正则化函数中的非光滑函数进行下近似，最终使用拟牛顿方法产生迭代序列。本章最后证明了在一定条件下算法的收敛性。 4．MPECs问题，即带有平衡约束的数学规划问题，在经济，机械结构设计等应用领域起着重要作用。而束方法和隐规划相结合可以处理带有复杂约束的MPECs问题。在第五章中，通过调用已有的两种束方法，我们给出了一种求解一类MPECs问题的序列束方法。该方法构造了原问题的一系列近似问题，通过用束方法求解近似问题得到一个解序列，该序列能够逼近原问题的最优解。 5．变分不等式在运筹学、系统科学、工程技术、交通及管理等许多方面都有广泛应