多元直交多项式与数值积分公式

【摘要】： 多元直交多项式和数值积分公式是当前数值逼近研究领域中的热门研究方向，而且在计算几何、科学计算、调和分析、特殊函数以及概率论与统计等诸多数学领域中有着重要应用。它们之间亦有着非常深刻的联系。本文主要针对这两个专题进行研究。本文主要研究：任意区域上的多元直交多项式一般性质及有关数值积分公式的构造问题。主要工作如下： (1)文献表明连分式是最初研究直交多项式的主要工具之一，但连分式的重要性在较长时间并未引起人们的足够重视。一个很重要的原因是它很难向多元推广。Stieltjes定理揭示了连分式与直交多项式之间的重要关系．罗钟铉教授和王仁宏教授提出了不变因子的概念，从而把一元的Stieltjes定理推广到了二元，并且得到了类似于一元的渐进展开公式，其中不变因子替代了一元直交多项式的作用。本文在的基础上进一步研究了不变因子的性质，特别是它的零点性质。首先证明了不变因子的零点一定是相应的截断Jacobi矩阵的一个特征值，从而是实的；特别地，当不变因子不存在重根时，二者除相差一常数因子外是相等的。另外对于不变因子的一个零点，它都对应着一个直交多项式分解，即存在着一个直交多项式可以被分解为一个一次多项式和一个低一次的多项式的乘积。由此得到了不变因子的类似于一元直交多项式的零点存在范围。 (2)一元直交多项式的零点性质是直交多项式理论的一个重要组成部分。为了研究多元情形的相应性质，把给定次数的所有直交多项式的公共零点视为一元直交多项式零点的推广。在这种观点下，一元的许多性质得以推广到多元，例如公共零点都是实的，且都是单的等。然而，它的存在范围问题一直没有得到解决。在一元情形下，[a，b]上的直交多项式的零点都在(a，b)内部。多元情形要复杂的多：多元直交多项式的公共零点未必在积分区域内部，一个显然的例子是当积分区域为圆环面时，原点作为所有奇次直交多项式的公共零点却不是圆环上的点。通过对不变因子的研究，本文证明了二元直交多项式的公共零点位于积分区域的凸包内部。这一结论可以看作是对多元直交多项式经典理论的一个补充。 (3)数值积分的研究在理论与应用上都有重要的意义。一元的相关理论都已基本完善，而多元数值积分的构造还有很大的困难。在一元情形下，数值积分的求积结点通常取为直交多项式的零点，而这主要得益于人们对一元直交多项式零点性质的了解。多元情形下，对于绝大多数的积分泛函而言，它的所有n次直交多项式的公共零点并不能构成2n-1次积分公式的求积结点，此时选择一些其它具有直交性质的多项式的公共零点作为求积结点是一个可行的办法，但这样做的一个困难是很难判断这些多项式的公共零点个数。由不变因子的性质知道它可以用来分解直交多项式，特别是对于低次的直交多项式，当n=2时，不变因子的任何一个零点都可以把其中的一个2次直交多项式分解为两个一次多项式的乘积。根据Stroud的结论。两个2次直交多项式有4个交点(非无穷远点)，则这4个交点是3次求积公式的积分结点。显然判断具有上面分解性质的两个2次直交多项式的交点个数问题转化为了判断直线交点问题。利用这一性质，本文给出了四点三次积分公式的一个构造方法，并且给出了详细的构造过程。根据M(?)ller的结论，结点数已经达到最小。值得一提的是，利用本文的方法所构造的数值例子作为反例否定了M(?)ller于2004年给出的重要结论：数值积分公式中的结点数最小时相应数值积分公式的所有权系数为正。这一点已经得到M(?)ller本人的邮件承认。 (4)为了研究多元直交多项式的性质，本文给出了高维情形的不变因子的概念，并且由此给出了多元Stieltjes型定理。另外我们还得到了完全与二元直交多项式相平行的结论，其中包括与Jacobi矩阵的关系，不变因子的零点性质，多元直交多项式的分解性质，公共零点的存在范围等。 (5)乘积型公式是构造最简单且应用非常广泛的一类多元数值积分公式。它的构造原理是通过一个变换把原始积分问题分解为一系列的单重积分问题，从而借助一元的求积公式来求积。它的一个最大缺点是在次数和维数升高时结点数增长太快。鉴于此，本文针对球域上的积分问题给出了一个变换，通过这个变换不仅可以把球域上的积分问题转化为单重积分问题，而且最终的结点数也大为减少。本文构造的的求积公式无论代数精度高低总有一些结点是被重复使用的。 (6)多项式插值与数值积分之间有着密切的联系。为了研究插值适定性问题，梁学章等人关于多元多项式的插值问题给出了一种递规构造的方法—添加代数曲线法。本文考虑求积公式的递归构造方法．本文首先给出了一种添加代数曲线的积分构造法，即通过在给定的代数曲线上选择一些结点得到一个代数精度更高的求积公式。选定一些不同的代数曲线，重复添加曲线过程，这样最终得到了递归构造法。其次，为了减少结点数，事先把这些代数曲线视为一个n次直交多项式所对应的代数曲线的一些分支，利用直交多项式的直交性可以假定以这个直交多项式为权函数的积分已经有了一个O点n-1次的积分公式。由于出发点是从n—1次开始，这样势必减少了大量的结点数。本文以圆盘上的积分为例给出了详细的构造过程，并且得到了许多相应的求积公式，有些公式的结点数已经达到最小。最后，本文还给出了不同权系数下直交多项式之间的一个关系式。 (7)借助多项式理想的相关知识，本文研究了一个事先给定结点的数值积分公式的构造方法。把给定的结点限制为一个低次求积公式的结点，由此进一步得到一个更高次代数精精度的求积公式。如此可得到一个嵌入列，即低次求积公式的结点都是高次积分公式的结点。此类研究的意义在于：多元数值积分的误差分析一直是一个难题，人们通常以两个不同精度的求积公式的差表示积分误差。此时，利用嵌入式积分公式序列将有利于分析和减少计算量。另外，文中还给出了一个二元非插值型积分公式的例子。