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一类二次曲线的代数结构及Pascal线的轨迹

邓威  
【摘要】: Pascal线是代数曲线中的重要概念,同时也具有重要几何性质。而代数曲线又是非常重要的研究对象和王具。尤其是经过近年来的研究,人们发现多元样条空间的奇异性问题与代数曲线的内在性质有着越来越重要的关系。值得提到的是,罗钟铉等人[7]建立了平面代数曲线的内在性质和多元样条空间的奇异性之间的等价关系,并且利用了样条的方法得到了平面代数曲线的不变量。由此,我们可以看出,通过此等价关系,我们可以把一个方面的某些方法与结论应用到另一个方面。所以,对于Pascal线性质的讨论,对于代数曲线以及多元样条空间的结构方面的研究也起着重要作用。 本文主要考虑了Pascal线的几个方面的性质。本文通过把具有同一条Pascal线的二次代数曲线化简为点与线的结构,把二次代数曲线之间乘法运算等价的转移到点与点和线与线之间的运算,从而把具有同一条Pascal线的二次代数曲线集合化为半群,并且确定了该半群的结构,既该半群可以分为——对应子半群的并:在考虑Pascal线的轨迹问题时,本文引进了两种几何模型,第一种几何模型实际上是建立在坐标三点形的基础上,把原有的问题进行化简;第二种几何模型是建立在自极三点形的基础上,之所以选择自极三点形,是因为在射影空间下,任何一条非退化的二次代数曲线,在以自极三点形的三个顶点作为新的坐标三点形的情况下,全部都只化为两个等价类。所以此模型具有一定的普遍性。本文计算的Pascal线的轨迹虽然是在特定的几何模型下计算得到的,但是外定点法下的几何模型,是具有一定的代表性。


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