非线性发展方程精确求解中若干问题的研究

【摘要】： 本文根据数学机械化思想，以符号数值计算软件为工具，主要研究非线性发展方程特别是可积系统精确求解中的若干问题，包括AC=BD模式下的C-D分离变量变换，基于微分伪带余除法构造C-D对的机械化模式以及函数展开精确求解算法。 第一章介绍了与非线性发展方程相关的孤立子、混沌和分形三种非线性现象，数学机械化，孤立子理论和可积系统研究的历史发展和现状。简述了国内外学者在这些学科领域所取得的成果，最后介绍了本文的选题和主要工作。 第二章首先简要介绍AC=BD模式所需用到的微分代数学知识，概述求解非线性发展方程的AC=BD模式及应用。其次在C-D对理论框架下，利用微分伪带余除法，将仅对一个自变量作用的C算子推广至两个自变量，构造了形式分离变量法的C-D对，为建立C-D对构造和其他多种方法的联系提供了新思路。最后提出了C-D分离变量的概念，予以形式分离变量法新诠释。 第三章基于将非线性发展方程精确求解代数化、算法化、机械化的思想，提出了两个机械化算法-变系数Riccati方程展开法和雅克比椭圆函数展开法，然后以符号计算软件Maple为工具，运用吴代数消元法，以(2+1)维立方非线性Schr(?)dinger方程、均匀色散管理光纤系统方程、(2+1)维色散长波方程为例，对算法的有效性予以实现。以(2+1)维NNV方程为例，介绍了双Riccati方程生成Complexiton解的算法。 第四章首先简单介绍了经典李群法、非经典李群法以及CK直接展开法在非线性发展方程精确求解中的应用，然后结合对称约化理论，依据所研究方程可以被约化为低维偏微分方程的研究结果，给出基于对称约化的PDE辅助方程求解法。概括介绍求解法应用于(2+1)维浅水波方程和(2+1)维PKP方程得到群不变解的两个实例。