有限三角函数和的经典分析方法

【摘要】： 本文利用Cauchy留数定理、部分分式、形式幂级数和超几何级数等经典分析方法，研究含自由参数的三角函数恒等式、有限三角和的封闭公式以及其它类型的三角和恒等式等组合计算问题。其具体内容如下： 第一章概要介绍三角函数恒等式的发展历史并给出本文章中必需的预备性公式。 第二章利用Cauchy留数定理，通过设计积分围道和被积函数，建立两个含有双自由参量的三角函数恒等式，在此基础上得到了一系列三角和公式。利用这些公式得到了阶数为奇数的有限三角和的封闭性求和公式，它们可以表示成含自由参数的二项式系数多重和形式。 1999年Chu和Marini利用部分分式方法获得了许多重要的三角函数和的计算公式。在第三章，作者将这种方法进一步发展成含参变量形式，由此建立阶数为偶数并含有自由参数的三角函数和公式。 2002年Berndt和Yeap给出了分拆和形式的有限三角和的封闭性求和公式。在第四章，作者利用割圆多项式方法及组合计算技巧，推导出含有两个自由参数、阶数为4之倍数的有限三角和的封闭性求和公式，它们可以表示成包含自由参数的二项式系数多重和形式。 第五章给出部分分式方法和Cauchy留数定理对三角函数恒等式的进一步的应用。首先讨论含不规则参数的三角函数分式的分解方法，然后利用这个方法以及Cauchy留数定理得到了若干三角和恒等式，它们的分母包含正弦函数的二次因式和不规则参数。