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孤子方程求解中的若干构造性技巧

张渊渊  
【摘要】: 本文主要研究了以下三个方面的问题:首先,借助于计算机符号计算软件,将直接构造法应用到非线性发展方程的精确求解中,并且对几种经典的构造性技巧给出了AC=BD表述。其次,研究了双线性B(?)cklund变换,Wronskian技巧和Crammian技巧在非等谱方程中的应用。最后,将Pfaffian化技巧推广到非等谱方程,导出了具有Pfaffian解的新的可积系统。 全文由五章组成: 第一章,绪论。在这一章中主要介绍了本文所涉及的学科的发展历史及研究现状,并简要介绍了作者的工作。 第二章主要介绍AC=BD理论及其应用。首先,在AC=BD的模式下阐述了直接构造法,并将其应用到孤子方程的精确求解中。这种方法包括设定多个目标方程,设定单个目标方程,以及不设定目标方程等情况。然后对几种经典构造性技巧给出了AC=BD表述,包括Darboux变换,Wronskian技巧,Lax对理论,这种表述有利于理解问题的本质,对研究工作提供有益的启示。 第三章回顾了双线性方法及双线性B(?)klund变换在孤子方程求解中的应用。借助于带谱参数的双线性B(?)cklund变换,通过对谱参数的适当选取,得到了具非均匀项KdV方程的高阶positon解,negaton解以及complexiton解。 第四章主要介绍了Wronskian技巧及其应用。Wronskian技巧的优势在于解的验证最终都化归为行列式的Pl(?)cker关系式或Jacobi恒等式。通过扩展Wronskian元满足的关系式(即Wronskian条件方程),得到了一类非等谱MKdV方程的广义Wronskian解。这种广义Wronskian解包含多孤子解,positon解,negaton解以及complexiton解等多种不同的形式。最后简单介绍了Grammian技巧,并且构造了非等谱mKP方程的Grammian解。 第五章首先引入了Pfaffian的定义及性质。然后将Pfaffian化技巧推广到非等谱方程中,导出了两个新的可积系统,即具有Pfaffian解的非等谱耦合KP方程组和非等谱耦合mKP方程组。


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