辛体系算法在波的传播与振动问题中的应用

【摘要】： 随着科技的不断发展，各种工程问题逐渐趋向复杂化，非线性领域也引起越来越多的重视。因此得益于计算机技术发展的科学计算得到了飞速的发展。科学计算已经同理论与实验共同构成当代科学研究的三大支柱。本博士论文在Hamilton体系框架下，研究了辛几何算法在部分波传播问题和振动问题中的应用。辛几何算法相对传统算法有其独特的优越性，因为保守体系可用Hamilton体系的方法描述，其特点是保辛。保辛给出保守体系结构最重要的特性。而对于某些非保守系统则也可通过转化为保守系统进行分析。针对某些波传播问题和振动问题，在辛体系下应用精细积分法、扩展的Wittrick-Williams算法、子结构分析、界带分析等理论方法提出了一系列算法。大量的数值算例表明，本文给出的辛几何算法在效率上和精度上有较大的优势。本论文的主要研究工作如下： (1)将精细积分法应用于二阶椭圆函数的求解，给出了二阶椭圆函数的精细积分算法。大量的算例验证了算法的可行性和正确性，并通过奇点处理使算法进一步完善。通过与其他的现有算法和软件对比，发现椭圆函数的精细积分算法无论是在精度上、速度上还是在适用范围上都优于其他算法。随后在分层介质光波导问题的应用中再次证明该算法在处理工程问题时存在很大的优势。 (2)利用电磁波导的辛体系理论分析并求解了分层介质中光波导的问题。首先在辛体系下，对线性分层介质波导问题进行了分析，指出其本征值问题的复杂性。进而将精细积分法与扩展的Wittrick-Williams算法相结合给出了一种高精度的求解方法。利用本征值计数可以做到指定范围准确求解而且决不丢根，这是本文算法的一大特点。在此基础上还对非线性分层介质光波导问题作了简单的分析，并利用精细积分方法求解了非线性Kerr材料的分层介质波导问题。 (3)在Lagrange坐标下，利用位移法提出了一个描述浅水波问题的新方程。该方程不同于传统的Euler坐标系下的浅水波方程，位移法浅水波方程可以用其相应的Lagrange函数、变分原理进行分析，沿分析结构力学的路走，从而达到保辛。孤波现象在浅水波问题中受到广泛重视，位移法浅水波方程也可以得出孤波解。大量的数值算例发现：在浅水波的基本假设下，位移法孤波解与传统的KdV方程的孤波解非常接近。本文还分析了两种方法的特点与区别，指出位移法浅水波方程为利用分析结构力学研究浅水波问题开辟了一条新路。 (4)本文研究了非线性Duffing方程的保辛数值算法，并指出利用时间有限元等数值方法求解时须注意的保辛性问题。空间有限元是自动保辛的，因为有限元是基于变分原理的；而从变分原理导出的时间有限元矩阵也有对称性，从而达到保辛。对于非线性振动问题的数值求解常用到摄动法，传统摄动法采用加法摄动，无法实现保辛。本文在处理该问题时采用乘法摄动，从而保证了传递矩阵保持为辛型，实现了保辛。通过和传统Runge-Kutt法的大量数值对比，验证了本文算法的正确性和稳定性。 (5)对于工程问题中广泛存在的跨域影响问题，将子结构间的分界面扩展为有一定宽度的分界带从而建立了界带结构，并给出了相应的子结构界带分析和色散分析的理论和算法。并把界带理论引入到碳纳米管的声子谱分析计算当中。在辛体系下分析了碳纳米管的传统结构力学模型计算结果的不足，并提出了一个全新的界带结构模型。通过将子结构法、Wittrick-Williams算法和界带分析相结合，给出了界带模型下碳纳米管声子谱的辛几何计算方法。大量的数值算例对比显示了界带模型和辛体系算法的独特优越性。