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锥约束变分不等式问题的数值方法的研究

孙菊贺  
【摘要】: 变分不等式问题在运筹学、计算机科学、系统科学、工程技术、交通、经济与管理等许多方面有广泛应用。在二十世纪最后20年里,它受到许多学者的特别关注。另外,锥约束优化,尤其半定规划和二阶锥规划也是目前最优化领域的研究热点之一,而锥约束变分不等式的研究还很初步.本论文主要研究了锥约束变分不等式问题的数值方法的收敛性,包括求解二阶锥约束变分不等式的半光滑Newton方法与光滑函数方法,以及Hilbert空间中的变分不等式的迫近点算法的收敛性. 本论文所阐述的主要研究结果可概括如下: 1.第二章主要研究二阶锥约束变分不等式的半光滑Newton方法,运用Fischer-Burmeister函数将二阶锥约束变分不等式的Karush-Kuhn-Tucker条件转化为非光滑方程组问题Φ_(FB)=0,并给出了映射Φ_(FB)的Clark广义微分(?)Φ_(FB)的表达式。在一定条件下证明了该广义微分的非奇异性。提出采用Armijo线搜索的求解该非光滑方程组的修正牛顿法,证明了该算法的全局收敛性和局部超线性收敛性。最后给出数值例子验证了算法的有效性。 2.第三章主要用光滑化方法求解二阶锥约束变分不等式。运用光滑化的Fischer-Burmeister函数将二阶锥约束变分不等式的Karush-Kuhn-Tucker条件转化为光滑方程组问题E=0.在一定条件下,证明了映射E的Jacobin矩阵JE的非奇异性。运用 光滑的牛顿算法求解该光滑方程组问题,证明了算法的全局收敛性。最后给出数值例子验证了算法的有效性。 3.第四章主要研究了基于预解算子理论的一般变分不等式的求解方法。我们引入了Hilbert空间中一类新的单调算子,即M-单调算子,建立了一般变分不等式和一个不动点问题的等价性。为了求解该不动点问题,本文提出了一个迫近点算法。在一定条件下证明了该迫近点算法的全局收敛性。而后,将上述理论应用到半定矩阵空间中的变分不等式的求解。为了保证算法的可行性,还另外给出了求解不动点问题的沂似解方法。


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