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组合学中实零点多项式的若干问题

马世美  
【摘要】: 通过发生函数的零点来研究离散序列的组合性质是组合学中的一个重要课题。本文研究了组合学中实零点多项式的若干问题。具体内容如下: 本文第一章简要介绍了组合学中实零点多项式理论的研究现状,还介绍了相关的记号、术语以及后面用到的主要方法。 第二章刻画了一类满足三项递归关系的实零点多项式序列的零点位置和零点重数的关系。作为应用,所给出的结论不但可以改进B(?)na和Wilf给出的对称群上关于统计量alternating runs数的发生函数的实零点的结果,还可以对许多经典的结果给出统一处理。 第三章研究了对称群上关于统计量excedances数、不动点数和循环数的发生函数,给出了q-Eulerian多项式的实零点性、加和公式以及显式,随后对q-Eulerian多项式的显式给出了一个组合解释,还研究了错排上关于统计量excedances数和循环数的发生函数。所得结论改进和推广了Brenti、Br(a|¨)nd(?)n、Mantaci、Rakotondrajao以及Zhang等给出的相关结果。 第四章基于零点交替的方法证明了在{1,m}-有序分拆中关于m的个数计数的发生函数构成Sturm序列,从而解决了B(?)na的一个猜想。随后,给出了与广义Lucas数有关的二项式系数以及第一类相伴r-Stirling数等的发生函数均构成Sturm序列。 第五章利用多项式的相容性方法,对Haglund,Ono和Wagner提出的列单调矩阵的积和式的实零点猜想作了进一步分析。此外还统一处理了Ferrers棋阵的rook多项式以及hit多项式的实零点性。


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