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求解非凸半定规划的一类非线性Lagrange方法

李阳  
【摘要】: 本文旨在研究求解非凸半定规划的一类非线性Lagrange方法的收敛速度。其中的非线性Lagrange函数是基于L(o|¨)wner算子构造的并且关于约束是非线性的。 在简要介绍了半定规划的相关背景知识和非线性Lagrange方法的发展历史之后,第二章给出了预备知识和研究的主要内容。预备知识包括非线性半定规划的最优性理论和L(o|¨)wner算子的微分公式。本文的主体工作在第三章到第五章。取得的结果可概述如下: 1.第三章建立了非凸半定规划的非线性Lagrange方法的理论框架。首先,给出L(o|¨)wner算子要满足的三个条件并假设问题满足约束非退化条件、严格互补条件和二阶充分性条件。其次,讨论了所提出的非线性Lagrange函数的微分性质。最后,研究了子问题精确求解时算法的收敛速度。收敛速度定理表明:当罚参数t小于某一阈值时,基于该类函数的算法生成的原始-对偶点列是局部收敛的,并且原始-对偶解的误差界与罚参数t成正比。 与非线性规划的非线性Lagrange方法的收敛速度分析相比,我们需要处理非凸半定规划的二阶充分性条件中的sigma项。与Stingl的工作相比,本文所研究的问题增加了等式约束。本文重新建立的非凸半定规划的非线性Lagrange方法的收敛定理更加完善,与Polyak求解非线性规划的非线性Lagrange方法的经典收敛定理完全对应。另外,我们给出的L(O|¨)wner算子满足的条件比Stingl的条件要弱。 2.基于第三章的假设条件,第四章建立了算法子问题非精确求解时的收敛速度定理。定理表明:在算法子问题非精确求解的情况下,当罚参数t小于某个阈值时,基于该类函数的算法生成的原始-对偶点列是局部收敛的,并且原始-对偶解的误差界与罚参数t成正比。 3.第五章例举了五个非线性Lagrange函数,验证它们中的L(o|¨)wner算子满足第三章提出的三个条件,因此证明了由这些非线性Lagrange函数构成的算法是局部收敛的,且原始-对偶解的误差界与罚参数t成正比。


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