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《大连理工大学》 2009年
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Hilbert空间中线性系统的若干问题

徐晓萍  
【摘要】: 控制理论是控制系统工程的理论基础,它处在数学、计算机科学和工程学交叉发展的前沿,它在以自动化、计算机、机器人等为代表的新技术革命中发挥着重要的作用。目前,控制理论的原理和方法的应用领域已经远远超出了工程技术的范畴,它在生物、生态、医学、经济、金融和社会学等方面都有着广泛的应用.控制理论研究的对象是系统。本文我们是在套代数框架下,研究Hilbert空间中线性系统的稳定化、强稳定化以及一般估计问题。其中,本文的第三章属于系统稳定化范畴;第四章属于强稳定化范畴,最后一章属于估计问题范畴。 第二章我们简要回顾了论文中用到的算子理论的基础知识,对一些基本概念、基本定理等做了描述。 在第三章中,我们首先介绍了Hilbert空间中的控制理论,在扩展空间的结构下引入了物理上的“关联性”的概念。其次介绍了线性时不变系统中的内部稳定性理论,基本思想是将一个线性系统表示成一个2×1算子矩阵的值域,其中的矩阵元素是关联的。稳定性可被看作等价于这样一个矩阵的左关联逆。这通常称为素分解方法。经典的Youla-Ku(?)era定理就是以此方式给出的.最后利用Youla-Ku(?)era参数化定理给出了多个系统同时稳定化的一个充要条件。 在第四章中,我们研究了线性时变系统的强稳定化问题,即要求控制器是稳定的系统稳定化问题。这主要源于在实际控制问题中,工程师们更愿意用稳定的控制器。首先,不同于以往的给定系统有双互素分解,我们考虑的系统是只有一个左或者右单素分解的。对于有单素分解的系统L=B~(-1)A,我们给出了稳定控制器的一个参数化表示,并将得到的稳定控制器参数化应用到同时稳定化问题和鲁棒稳定性问题中,给出了一系列新的结果。特别的,当A是紧算子的时候,结论是成立的;其次,在套代数的结构下,利用线性关联系统强稳定化的一个充要条件,给出了解决强稳定化问题的一种新方法。应用套代数中的内外分解理论,该问题与一个算子和考虑的套代数之间的最小化问题相联系,并给出了此最小化问题的一个最优解,以及基于Hankel型算子的一个解;最后,考虑了加权灵敏度最小化问题在强稳定下的情形,将我们得到的稳定控制器参数化结果应用到加权灵敏度最小化问题中,分别给出了它在时不变和时变情形下的最优解。 在第五章中,我们主要讨论了一般的时变估计问题以及多目标H~2/H~∞估计问题。Avraham Feintuch已经考虑过一般的估计问题,利用套代数中算子的内外分解理论,他给出的公式仅依赖于给定的数据。本章第一节,利用算子中的内外分解理论以及Banach空间的对偶理论,将估计问题约化为某个算子与讨论的套代数之间的一个距离问题。同时,给出了最优时变估计器的存在性。并且将该问题与一个同Hankel算子类似的线性时变算子相联系,这一算子可以用来求解线性时不变情形的标准最优H~∞问题。我们应用了Hankel算子是紧的一个充分必要条件,并且在此情形下最优估计器可以被计算出。我们用到的方法仅与输入-输出有关,并没有用到任何的状态空间实现,因此所得结果可以用到无限维的线性时变系统;本章第二节,我们引入了多目标H~2/H~∞估计问题,用Banach空间对偶理论和算子理论给出了它的一个最优解,并且证明了该解满足一个全通性质。
【学位授予单位】:大连理工大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2009
【分类号】:O177.1

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