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AC=BD模式下非线性发展方程求解的若干问题研究

李文婷  
【摘要】: 本文以数学机械化思想和AC=BD模式为指导,研究非线性发展方程的精确求解方法,并应用间断有限元方法对非线性发展方程的数值求解进行研究. 第一章介绍本文所涉及的学科:孤立子理论、数学机械化、间断有限元方法的历史发展及现状,同时介绍了国内外学者在这些领域所取得的成果.最后,介绍了本文的主要工作. 第二章介绍本文的理论基础:AC=BD理论和C-D对理论以,并且阐述在AC=BD这一理论框架下的微分方程精确解的构造问题及BD=AC在数值求解中的应用. 第三章是在第二章理论的指导下,基于将非线性发展方程精确求解代数化、算法化、机械化的思想,改进了两种求解非线性发展方程精确解的有效算法-广义双Riccati方程有理展开法和广义子方程有理展开法,改进后的算法能够求解出非线性发展方程的更多类型的精确解. 第四章对三类BBM-Burgers型方程设计了局部间断有限元方法.对于广义BBM-Burgers型方程给出的求解格式,我们证明了其非线性情形的L2稳定性及非线性情形的误差估计.对带四阶色散项的BBM-Burgers型方程和Rosenau-Burgers方程我们给出了求解格式,并证明了其非线性L2稳定性.数值试验证实了LDG格式与算法的有效性和可行性. 第五章构造了含有高阶导数项的非线性Schrodinger方程的局部间断有限元算法.推广了Xu和Shu关于LDG方法求解非线性薛定谔方程工作.这些方程包括带三阶导数项的非线性Schrodinger方程和带四阶导数项及高阶非线性项Schr(o|¨)dinger方程.我们证明了这些方程求解格式的非线性情形的L2稳定性,并对这些方程进行了数值模拟,说明了局部间断有限元方法求解高阶导数NLS方程的精度和能力.


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