非线性发展方程的扩展守恒律和孤子解

【摘要】： 本文以数学机械化思想为指导,以计算机代数系统软件为工具,研究非线性发展方程的守恒律构造问题以及一类重要的孤子方程的求解问题,构造了几个非线性发展方程的扩展守恒律和一个(2+1)维变系数非线性Schrodinger方程的精确解,并在符号计算系统Maple上予以机械化实现。本文主要工作如下： 第一章介绍了数学机械化的历史和现状,同时介绍了经典的可积系统理论和非线性发展方程守恒律的研究概况。 第二章介绍了AC=BD理论,通过实例说明了其在求解微分方程中的应用。 第三章介绍了构造守恒律所需要的一些基本理论,并给出利用Noether定理构造原方程(组)对称和扩展守恒律的方法。首先,对发展方程(组)匹配共轭方程(组),从而得到扩展方程组和Lagrange函数；其次,给出了以得到的Lagrange系统为基础,利用Noether定理确定原方程(组)扩展守恒律和扩展对称的方法。利用这一方法我们构造了包括Drinfel'd-Sokolov-Wilson方程,Benjamin-Bona-Mahony方程和KdV-Burgers-Kuramoto方程在内的三个非线性发展方程(组)的扩展守恒律,同时也说明了方法的有效性。 第四章结合AC=BD理论,通过一系列的变换,将(2+1)维变系数非线性Schrodinger方程转化为Klein-Gordon方程。再利用双线性变换求得Klein-Gordon方程的解,进而求得非线性Schrodinger方程的几个孤子解。