基于Fraeijs de Veubeke变分原理的自然邻点法

【摘要】： 本论文在二维无穷小变形领域内提出了一种基于Fraeijs de Veubeke (FdV)变分原理的自然邻点法。 该方法首先被发展于线弹性固体力学领域,随后被扩展至材料非线性问题以及线弹性断裂力学问题。 在所有的这些发展中,FdV变分原理提供了对位移,应力,应变场以及由施加的位移边界条件产生的支撑反力分别进行插值离散的可能性。 根据自然邻点法,对应于分布在连续体内(包括边界)的N个节点,建立N个Voronoi单元。 该方法在线弹性问题的发展中,使用了如下离散化假设： 假设对位移用拉普拉斯插值函数在节点之间进行插值。 假设在施加位移边界条件的Voronoi单元的每条边上产生的支撑反力为常数。 假设应力在每个Voronoi单元内为常数。 假设应变在每个Voronoi单元内为常数。 由应力和应变的离散化假设引起的额外的自由度可以被消除,方程系统只包含位移和支撑反力两个基本变量。 如果对模型施加的边界条件中,施加的位移为常数,则可以进一步从方程系统中消除支撑反力,从而最终的方程系统只包含位移。 在本方法对材料非线性问题(位移仍然为无穷小)的扩展应用中,使用了和线弹性问题中相似的离散化假设。不同的是,对速率(位移对时间的导数)进行了拉普拉斯函数插值,并假设应变率在每个Voronoi单元内为常数。 最终的方程系统只包含节点速率一个基本变量。对时间积分并使用牛顿-拉斐逊迭代法可以对方程求解。 在本方法对线弹性断裂力学问题的扩展应用中,将每个裂纹端点作为一个节点。在包含裂纹端点的单元内,应力和应变的离散不仅包括一个常数部分,而且使用了一个基于线弹性断裂力学对断裂模式1和2求解的部分进行强化。 在该方法中,应力强度系数转化为求解中的基本变量。 最后,本文在线弹性断裂力学领域内发展了一种扩展自然邻点法。该方法借鉴了扩展有限元法的经验,用一条线来定义裂纹,这条线并不重合于节点或者单元的边,也没有节点位于裂纹端点。 扩展自然邻点法使用了和基于FdV原理的自然邻点法在线弹性领域内相似的离散化假设。此外,对位移的离散使用Heaviside函数进行强化,从而允许在裂纹附近存在不连续位移。 在包含裂纹端点的单元内,应力和应变的离散不仅包括一个常数部分,而且使用了一个基于线弹性断裂力学的对断裂模式1和2求解的部分进行强化。应力强度系数转化为求解中的基本变量。 本论文给出了一系列的算例和应用,验证了该方法在线弹性问题,材料非线性问题,线弹性断裂力学问题的发展中的有效性,并得出下列结论： ·在没有体积力的条件下：在对线弹性和非线性问题的发展中,本方法避免了对Voronoi单元进行面积分的数值计算,只需沿Voronoi单元的边进行数值积分。对此,使用高斯积分法,2个积分点即可以通过分片试验；在对线弹性断裂力学问题的应用中,在包含裂纹端点的单元内需要进行一些面积分的计算,但这些面积分可以求得解析解。从而只需沿Voronoi单元的边进行数值积分。 避免了对节点形函数进行求导。 成功通过分片试验。 避免了不可压缩材料的自锁。 本方法得到的数值结果收敛于理论精确解,并且,本方法对正方形带孔膜的计算结果优于有限元法。