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《东北大学》 2010年
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若干类传染病动力系统分析与控制问题研究

衣娜  
【摘要】:传染病一直以来威胁人类的健康与生命,历史上曾给人类带来巨大的灾难。利用动力学的方法建立反映传染病流行规律的数学模型,研究其发生、发展与传播的规律,了解疾病的发展过程,揭示发展规律并预测其变化趋势,已经成为传染病学和数学相结合的一个重要的具有理论和现实意义的研究课题,它有助于对传染病将来的发展趋势进行预测,有利于传染病的预防与控制,以便为相关部门制定防治策略提供科学依据,使人们能更好的抵御疾病,这一工作至关重要。 本文针对若干类具有非线性发生率的传染病动力学模型,利用动力系统稳定性理论及分岔理论、微分代数系统(广义系统)分岔理论,研究了它们的周期、混沌、超混沌、余维-1分岔(transcritical分岔、saddle-node分岔、Hopf分岔、fold分岔、flip分岔、Neimark-Sacker分岔)、余维-2分岔(Bogdanov-Takens分岔、1:1强共振、1:2强共振、1:3强共振、1:4强共振、fold-flip分岔),并设计了控制器来消除对有些系统中出现的超混沌、混沌或周期轨,使得染病者数量逐渐趋于零,达到消除疾病的目的。主要研究内容如下: (1)利用微分代数方程建立了具有季节影响的非线性传染率的SEIR传染病模型。分别针对系统具有单参数变化,双参数变化和三参数变化的三种情况讨论了系统的动力学行为。对于仅有一个变化参数的情况,我们利用分岔图、Lyapunov指数谱图和Poincare截面等分析方法展示了系统周期、混沌和超混沌的动力学行为。对于系统具有双参数和三参数变化的情况,应用Lyapunov图分析了系统的动力学行为,发现系统具有复杂的动力学现象。为了消除系统的超混沌现象,设计了跟踪控制器,使染病者的数量渐近趋于零,即传染疾病逐渐消亡。特别研究了当系统的季节影响因子β1=0时的稳定性。利用分岔定理,还讨论了系统的transcritical分岔。采取隔离控制,达到消除疾病的目的。经研究发现利用微分代数方程建立该SEIR传染病模型,具有更为复杂的动力学行为。 (2)利用微分代数系统建立了具有非线性发生率βIpSq(p0,q0)的SEIQS传染病模型,并对该模型进行了动力学分析。首先,针对p和q的不同取值,讨论了系统无病平衡点和地方病平衡点的存在性及其稳定性。其次,考虑了系统在单参数β变化条件下,利用微分代数系统的分岔理论得到系统产生余维-1分岔的条件,包括transcritical分岔、saddle-node分岔和Hopf分岔。另外,考虑了系统在双参数β和p变化条件下,利用中心流形定理和分岔定理,研究了系统发生余维-2分岔(Bogdanov-Takens分岔)的条件。 (3)利用向前Euler法得到了具有非线性发生率的离散传染病模型,并分析了该模型的动力学行为。利用离散动力学稳定性理论,分别讨论了系统的无病不动点和地方病不动点(正不动点)的存在性及其稳定性问题。利用离散系统的分岔定理研究了系统在单参数变化时产生的余维-1分岔(fold分岔,flip分岔,Neimark-Sacker分岔)的条件。flip分岔又称倍周期分岔,倍周期分岔是通向混沌的主要途径之一,因此系统的flip分岔可导致混沌现象的产生。而Neimark-Sacker分岔可使系统产生周期轨。针对系统中出现的混沌和周期轨,设计了跟踪控制器,使得染病者逐渐趋于零,达到消除疾病的目的。通过分岔图,Lyapunov指数谱、状态响应图说明了理论分析的正确性,展示了系统复杂而有趣的动力学行为。 (4)进一步地,对具有非线性发生率离散传染病模型的进行了深入的研究,考虑系统在双参数变化条件下,系统的动力学行为。利用分岔定理研究了该系统的余维-2分岔问题,包括1:1强共振、1:2强共振、1:3强共振、1:4强共振和fold-flip分岔。通过理论分析我们发现该系统具有复杂的动力学行为,尤其是在发生1:2强共振余维-2分岔和fold-flip分岔时,该系统都产生了混沌现象。为了消除系统中的混沌行为,我们利用(3)中所设计的跟踪控制器,使染病者的数量逐渐趋于零。利用相图、三维空间上的最大Lyapunov指数图、分岔图、Lyapunov指数谱图、状态响应图进行数值仿真。仿真结果表明理论分析的正确性及控制方法的有效性。
【学位授予单位】:东北大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2010
【分类号】:O19;O175

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