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基于Choquet积分与(N)积分的(Y)模糊积分及其性质

于文爽  
【摘要】:“模糊集”是模糊数学的基础概念,1965年Zadeh引入了这个定义。按照Zadeh的定义,模糊集即为普通集的推广。从另一个角度看,模糊性和随机性同属于不确定性,而随机性能用概率测度来刻画,那么模糊性能否用一种所谓的“模糊测度”来刻画呢?基于此,日本学者Sugeno于1974年在他的博士论文中提出了模糊测度的概念,即一个正规的、单调的、连续的集函数称为模糊测度。把模糊测度与概率测度相比较,可以看出,模糊测度就是放弃了概率测度的可加性,而代之以更广泛的单调性,因而它以概率测度为特款,且更符合人类日常的推断活动。利用模糊测度,Sugeno定义了一种相应的泛函,被称为模糊积分。把模糊积分与Lebesgue积分作比较,不难发现二者已有本质差别。模糊积分主要在于把Lebesgue积分中的运算“+,·”取代为“∨,∧”,因而积分性质也就失去了可加性。Sugeno最早把模糊积分应用于主观评判过程,取得了较好的效果,因而这一理论也就倍受人们重视。 本文首先在原有理论的基础上系统地总结了模糊测度和模糊积分。其次,依据Choquet和(N)积分定义了一种(Y)模糊积分,补充了(Y)模糊积分的基本性质;进一步定义了Lebesgue-Stieltjes形式(Y)模糊积分,取值于(-∞,+∞)的模糊可测函数的广义(Y)模糊积分,基于模糊集合上的模糊值可测函数的(Y)积分,基于自对偶测度的(Y)模糊积分,并讨论了相应的基本性质。然后,将(Y)模糊积分整体看作集函数,构成模糊测度并讨论其性质。最后,给出了(Y)积分在现实生活中的应用,并画出模糊积分关系图,进一步完善了模糊积分理论。


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