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半定规划内点算法的搜索方向研究

常小凯  
【摘要】:半定规划在控制论、特征值优化、组合优化和工业工程设计等多方面的广泛应用以及内点算法在半定规划理论和实践上的有效性,使其成为近些年来国际数学规划日益引人注目的研究方向。 本文首先介绍了半定规划目前的研究状况、理论、算法、应用及其发展方向,然后在半定规划内点算法中心路劲的存在唯一性和二次半定规划内点算法的搜索方向方面做了一些工作,具体如下: 首先构造了新的函数,证明了半定规划内点算法中心路径的存在唯一性。在假设半定规划存在严格可行解的基础上,利用矩阵的逆和矩阵的迹函数构造一种新函数,并利用此新函数的严格凸性得到了扰动KKT系统解的存在唯一性与此函数存在唯一最小值等价,最后通过此函数最优解的存在唯一性证明了中心路径的存在唯一性。 其次讨论了二次半定规划内点算法的搜索方向。利用牛顿法求解一类二次半定规划的扰动KKT方程组,得出这类二次半定规划原始-对偶路径跟踪算法搜索方向求解的统一形式,以及HKM搜索方向和NT搜索方向存在唯一的充分条件,最后给出了计算搜索方向的表达式,和特殊情况下搜索方向的计算方法。


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