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环F_2+uF_2上的循环码和二次剩余码

王丹  
【摘要】:1994年,Hammons等人证明了一些十分重要的二元非线性码是环Z_4上的线性码在Gray映射下的像,这之后针对四元码的研究逐步开展起来,并获得了很多重要结果。1996年和1997年,Pless,Qian和Sole证明了在环Z_4上的线性循环码的结构特征,并给出了自对偶码的充分必要条件。受到这些人研究工作的启发,本论文以环Z_4上码的理论为基础对环F_2+uF_2,其中u~2=0,上的线性循环码进行研究探讨。 首先介绍了环F_2+uF_2上的一些基本理论,定义了环F_2+uF_2上的伽罗华(Galois)扩张,并给出了一些结论。 其次深入研究了环F_2+uF_2上的循环码的结构特征,证明了任何一个环F_2+uF_2上的循环码C都是由(fh,ufg)生成的,其中fgh=x~n-1,和|C|=4~(deg(g))2~(deg(h))。在此基础上给出了循环码对偶码的一些性质,也证明了环F_2+uF_2上的对偶码C~丄是南(g~*h~*,uf~*g~*)生成的。 最后通过幂等元的研究,证明了环F_2+uF_2上的循环码在满足一定条件下存在一个幂等元,并根据幂等元的存在性定义了环F_2+uF_2上的二次剩余码,并研究了二次剩余码的一些好的性质。 1 引言


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