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抽象次微分在最优化问题中的一些应用

赵萨日娜  
【摘要】:本文介绍了抽象次微分在优化领域两个方面的重要应用。 一方面介绍了抽象次微分在优化问题最优条件理论中的应用及其重要结果,主要是使用抽象次微分概念,借助非凸分离定理,对于向量优化问题建立了模糊最优性必要条件。 2.1主要介绍了满足公理(H1)—(H7)的抽象次微分概念,并给出其精确求和法则和模糊求和法则。 2.2中为指出结果中用到的主要思想,作者介绍了一些精确情形的结论。 定理2.6设X,Y∈x,f∈F(X,Y)且S是x的闭子集。若x0∈s是f在S上关于K的一个弱极小点,则对(?)ε0,(?)v*∈K*,e∈intk及‖ν*‖ε和ν*(e)=1,有假设(?)满足(H1)—(H4)。 定理2.7设Y∈χ且C是Y的一个闭子集,若y0∈C是C关于K的一弱极小点,则对每个e∈intk,存在v*∈K*,v*(e):1使得假设(?)满足(H1),(H2),(H5),这里L=d(e,bd(K))-1。 命题2.8设Y∈χ且C是Y的一个闭子集。若y0∈C是C上关于K的一个弱极小点,则(?)ν*∈K*\{0},使得假设(?)满足(H1),(H2),(H5)。特殊地,若N(?)是一个锥,则‖ν*‖=1。 2.3中为指出结果中用到的主要思想,作者介绍了模糊情形的结论。 定理2.9设Y∈χ且C是Y的一个闭子集。若y0∈C是C上关于K的一个弱极小点。则对每个e∈intk和ε0,总存在z∈B(y0,ε)∩C,u*∈K*,u*(e)=1,v*∈N(?)(C,z),使得假设(?)满足(H1),(H2),(H6)。 为了将我们的结果与[4]中一些结果比较,我们阐述定2.9的推论并给出证明。 推论2.11设Y∈χ,C是Y的一个闭子集,y0∈C是C上关于K的一个弱极小点,并假设满足(H1),(H2),(H6')。则 (i)对每个ε∈(0,ρ),(?)zδ∈B(y0,ε)∩C,uε*∈K*,1≤‖uε*‖<(ρ-ε-1),使得 (ⅱ)假如C→y|→Na(C,y)有弱*闭图,则(?)u*∈K*\{0},使得-u*∈Na(C,yo). 2.4中主要介绍了向量优化问题的模糊最优必要条件在三个方面的应用。 另一方面介绍了抽象次微分在变分分析中的应用,主要内容是使用抽象次微分建立变分分析中一些几何结果的统一方法,这一方法基于一个极小化问题,表明近似投影结果,扩充极值理论,凸分离定理,广义Bishop-phelps定理,可分离点结果等几何结果都可统一适用于Banach空间的一些非凸集合。 第三章的分析基于如下极小化问题:及相关的属于问题:求点x∈A使得F(x)=0,(IP)这里F是一个Banach空间X到另一个Banach空间Y的映射且A是X的一个闭子集。 定义3.1设X,Y∈x,F是从X到Y的映射,A是X的闭子集。对极小值问题(MP)及相关的属于问题(IP),若ε0且则称x∈A是(MP)的一个ε-极小化变量。此外,若x是(MP)的ε-极小化变量且则称x为(MP)的一个外ε-极小化变量。 定理3.2设X,Y∈χ且F:X→Y是严格可微映射。设x是极小值问题(MP)对一些ε0的外ε-极小化变量,则如下结论成立: (i)(?)u∈A∩Bx(x,ε),V∈Bx(x,ε)且y*∈SY*使得 (ii)假设抽象次微分(?)a是完备的且F是X上L-Lipschitz函数,则(?)x∈A∩Bxa(x,ε)且y*∈sy*使得〈(y*,F(x)〉=(?)≠0且 定理3.3设xi∈x(i=1,…,m)且Y∈χ,x=(?)Xi且F:X→Y是严格可微的,A:(?)Ai中每个是Xi的一个闭子集且设(?)=(x1,…,xm)∈A。若x是相应的极小值问题(MP)的一个外ε-极小化变量,则下列结论成立:使得 (ii)若抽象次微分(?)a是完备的且F在X上L-Lipschitz,则(?)x=(x1,…,xm)∈A∩B(?)(x,ε),


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