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《吉林大学》 2011年
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玻色—爱因斯坦凝聚动力学性质的数值研究

花巍  
【摘要】:玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)的意义在于为物理学研究打开了一个崭新的领域。它是一种新的物质形态,可以在大尺度上展示量子特性,具有广阔的应用前景。玻色-爱因斯坦凝聚是指大量无相互作用的玻色气体在一定的低温下,一部分粒子将占据最低能量单粒子态。在玻色-爱因斯坦凝聚提出近70年后,于1995年分别实现了近理想碱金属原子铷,纳,锂气体的BEC,此后对BEC的研究如雨后春笋逐年增加。 在BEC的理论研究方面,多数理论研究都是从Gross-Pitaevskii方程(GP方程)出发的。在BEC的静态性质中通过GP方程讨论凝聚体的基态解,本征值问题,转变温度等;在BEC的动态性质中应用GP方程讨论凝聚体的涡旋,呼吸子,振荡等动力学性质;在BEC的相干性质中通过GP方程讨论凝聚体的干涉现象。GP方程应用了平均场近似,具有非线性Schrodinger方程的形式,非线性Schrodinger方程是物理学中的一个重要模型。 鉴于BEC的某些动态性质以及干涉现象还有许多值得深入研究的地方,同时为了更好的求解GP方程使计算结果更有效,本文探讨了玻色-爱因斯坦凝聚动力学性质的数值研究,以描述一维简谐势阱中中性原子的玻色-爱因斯坦凝聚的GP方程为基本方程,研究了辛格式在求解立方五次方非线性Schrodinger方程中的应用,提出了求解定态GP方程的改进的打靶法,给出了求解含时GP方程的辛算法;对比地研究了两个以及三个凝聚体的干涉现象,讨论了处于同一势阱中的两个以及三个凝聚体的动力学演化;提出将隧穿现象与干涉现象联合考虑,研究凝聚体在简谐势阱和高斯能垒中的动力学,以及之后可能发生的干涉现象。 本文研究了GP方程的求解,好的基态波函数是计算物理量以及数值模拟物理过程的基础。GP方程是描述BEC的数学模型,它具有非线性Schrodinger方程的形式,因而要得到一个准确的解析解是十分困难的,数值计算是有效途径。非线性Schrodinger方程是一个无穷维的Hamilton系统,Hamilton系统具有辛结构,Hamilton系统正则方程在辛变换下形式不变,Hamilton系统的时间演化是辛变换的演化。辛算法是Ruth和冯康提出的保持Hamilton系统辛结构的差分方法,它在保持系统整体结构上和长时间、多步数的计算中明显的好于其它算法。本文用辛算法求解立方五次方非线性Schrodinger方程,讨论其动力学性质。数值地给出了立方非线性Schrodinger方程的N孤子解;随着立方非线性参数的增加,立方非线性Schrodinger方程的解存在从拟周期状态、混沌状态到周期状态的交替演化;随着五次方非线性参数的增加,立方五次方非线性Schrodinger方程的呼吸子解退化为单孤子解。用辛算法求解了GP方程,提出了具有两个参数的改进的打靶法,将其应用于求解一维定态GP方程,给出凝聚体的基态本征值和相应的波函数,其稳定性是可以被检验的;给出了求解一维含时GP方程的辛算法,并采用缓慢增加非线性参数的方法逐步计算,这种方法既能求解凝聚体的基态波函数又能做动力学演化;介绍了谱方法和虚时演化法等其他数值方法。数值结果表明,本文的算法与其他文献方法的结果符合得很好,是合理有效的,且计算过程中能自动保持波函数的模方守恒,并在长时间多步数的计算中具有优越性。 研究了凝聚体间的千涉现象。目前实验室中可以在势阱中间建立偶极力势垒排斥原子造成两团原子云,亦可以利用光镊等技术来移动原子云,这些技术为进一步研究凝聚体的动力学性质提供了实验基础。本文数值地讨论凝聚体的干涉现象,用辛算法研究了粒子数相同,相位相同的两个凝聚体间的干涉,进而研究了三个凝聚体间的干涉,并与前者进行了比较,给出了干涉图样。数值结果表明两个凝聚体重叠后产生干涉条纹,条纹间距随着时间的演化变宽,且由于计算中在足够远处选取零边界条件,防止了计算中在边界处出现反射而影响到中心区域的现象,反射对称点处的几率密度平滑的演化。三个凝聚体间的干涉分为两个过程,首先是相邻两个凝聚体间干涉,其行为与前者相同,然后是三个凝聚体共同干涉,此后干涉条纹出现了振荡,表现为反射对称点处的粒子数几率密度出现振荡,振荡随着凝聚体间相位差的改变而改变,非线性相互作用的增大对振荡的出现起到了重要作用。研究了处于同一陷俘势中的两个及三个凝聚体的动力学演化,凝聚体呈现周期性演化,类似于简谐振动,凝聚体间的相互作用类似于孤子间的相互通过,且由于陷俘势的存在,三个凝聚体相互重叠时出现的干涉现象很强烈。两个凝聚体,尤其是三个凝聚体的动力学行为携带了丰富的物理信息,因而讨论它们的动力学现象是十分有意义的。 结合实验上的可能性,提出研究凝聚体在简谐势阱和高斯能垒中的动力学,讨论隧穿以及可能发生的干涉现象。提出先将凝聚体平移,使之偏离势阱最低点,凝聚体由于偏离了平衡位置而开始做类似简谐振动的周期运动。一段时间后将势阱关掉,释放凝聚体,同时建立高斯能垒,讨论凝聚体与势垒间的隧穿现象,结果表明当释放的凝聚体具有较大的动能时,一部分凝聚体隧穿过势垒形成一个小的波包,另一部分被反射回来与入射波形成干涉,且干涉过后演化成一个小的波包。为了控制这两个小波包的运动方向,研究两个运动的小波包可能发生的干涉,提出在建立高斯能垒的同时保持简谐势阱的束缚。研究表明发生了隧穿效应,入射波与反射波之间发生了干涉效应,且干涉随着势垒高度的增加而增强。当势垒高度增到一定程度时,隧穿现象基本被抑制。隧穿过后可以得到两个运动的凝聚体,一定条件下撤掉势阱与势垒将这两个运动的凝聚体释放,两凝聚体重叠之后发生干涉。两个运动的凝聚体干涉的发生一方面可以验证整体相位的存在,另一方面为实验探测提供了方便条件。 本文将打靶法改进并用于求解GP方程,结果是合理而有效的,可以尝试用该方法求解其他类似的非线性Schrodinger方程。将凝聚体的隧穿与干涉联合考虑研究简谐势阱和高斯能垒中凝聚体的动力学是一件十分有意义的工作,并且给出了实验上实现干涉现象的一种新途径。BEC的理论研究逐渐进入了更广阔的领域,对它的数值讨论也十分广泛,辛算法在其中亦有广泛的应用前景。
【学位授予单位】:吉林大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2011
【分类号】:O431.2

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