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Helmholtz方程与Maxwell方程组中若干Cauchy问题数值解法的研究

马云云  
【摘要】:Helmholtz方程和Maxwell方程组出现在地球物理、医学、遥感技术等众多领域,经常被用来刻画声波或电磁波的辐射和散射,以及建筑物的振动等现象,是典型的偏微分方程.在Hadamard的意义下, Helmholtz方程和Maxwell方程组的Cauchy问题是不适定的.与偏微分方程边值问题相比,我们不需要去除Laplacian的特征值就可以保证Cauchy问题解的唯一性.然而Cauchy问题是不稳定的,如果测量的Cauchy数据带有微小的扰动,很可能会引起反演结果的巨大偏差.因而对Cauchy问题的研究,特别是提出有效的、稳定的、可实现的、快速的数值计算方法是当今的重要课题之一. 本论文主要研究了Helmholtz方程和Maxwell方程组Cauchy问题的不适定性,并针对相应的数学模型提出了有效的、稳定的数值计算方法.论文分为三部分. 第一部分是论文的第一章.在这一部分里面,首先简单介绍了Helmholtz方程和Maxwell方程组的物理背景,之后对Cauchy问题的研究状况做简短的综述,最后我们收集了后续章节中涉及的函数空间的定义和理论. 第二部分是论文的第二章.这一部分主要针对二维有界域上的Helmholtz方程Cauchy问题提出了稳定的数值算法—Fourier矩方法.这一章主要由两部分构成. I.特殊区域的Cauchy问题设Ω是R2中的有界区域,其边界Ω充分光滑.曲线Γ是Ω上的子集,具有下述性质:(1)Γ位于上半平面{(x,y);y≥0},并连接(0,0)和(1,0)两点;(2)Ω\Γ= {(x,y);y = 0,0≤x≤1}.考虑如下的Cauchy问题:设f∈H32(Γ), g∈H21(Γ).求解波场u∈H~2(Ω)满足方程 其中波数k 0,ν表示边界Γ上的单位外法向量.设n∈Z,记vnα= Rn(α)vn, (2) 其中阻尼因子Rn(α)的定义是我们用函数来近似Cauchy问题(1)的解u在未知边界(?) \Γ上的函数值.称这种算法为求解Cauchy问题的Fourier矩方法. 定理1设f、g∈H0(Γ).假设Cauchy问题(1)存在解u∈H2(?).记β= u|??\Γ.随着α趋于0,βα收敛到β,即limα→0 ||β~α-β|| 3/2 = 0 . 记δ表示噪声水平, fδ, gδ∈H0(Γ)表示带有噪声水平为δ的Cauchy数据.与扰动数据fδ、gδ相关的Fourier矩记为令有限维空间的函数为β的近似,有 定理2假设Cauchy问题(1)的解u满足下面的先验条件:对于s 23,而且βs2≤E.给定子空间的维数N∈N,若选取正则化参数其中其中C3是仅依赖于M和C1的常数.在2.1.3节中,我们提出了求解Cauchy问题(1)的解u在未知边界?? \Γ上的法向导数值的Fourier矩方法.设n∈Z,记wnα= Tn(α)wn,其中阻尼因子Tn(α)的定义是函数wn的定义是 Cauchy问题(1)的解u在未知边界?? \Γ上的法向导数值的近似解的表达式是其中II.周期结构中的Cauchy问题设Ω= [0,L]×[b,B],其中L 0, B b.任给y∈[b,B],记其中 在本章最后简要讨论了Fourier矩方法在散射问题上的一些应用,并给出了若干数值算例,这些实验结果说明算法是有效的. 论文的第三部分由第三章、第四章、第五章和第六章构成.在第三章、第四章和第五章里,我们提出了求解Helmholtz方程和Maxwell方程组Cauchy问题的投影法.在第六章里面,针对半空间上Helmholtz方程Cauchy问题,我们提出了带有正则化技巧的Gauss–配置法.无论是投影法,还是配置法,微分方程Cauchy问题都先转化为紧算子方程的求解,之后利用带有正则化技巧的投影法或是配置法求解相应的紧算子方程.下面给出论文中的主要结果. 第三章研究了求解定义在无界域上的Helmholtz方程Cauchy问题辐射解的不适定性,以及数值计算方法.记Ω= BR为Rd (d = 2,3)中以原点为圆心半径为R的球.Γ是?BR上的子集.我们考虑利用波场u在Γ上的函数值f和法向导数值g反演Rd \ BR上的波场,即求解u∈C2(Rd \ BR)∩C(Rd \ BR)满足方程组 I.二维情形令(r,t) (r≥0, t∈[0,2π])表示极坐标.设f? = u(R,t) =n∈Zcneint.记Λ为Dirichlet-to-Neumann映射,那么其中在此式中, Hn表示n阶第一类Hankel函数.接下来,定义与Cauchy数据相关的算子 在球BR外, Helmholtz方程的辐射解u可以表示为如下的变量分离形式的级数和形式 所以,我们只需要利用Cauchy数据求解f?的Fourier系数cn,即可得到Cauchy问题(14)的解,即求解算子方程经过严格地数学推导,我们得出算子K具有如下的性质: 定理3 K : 定理4记Γ的测度为meas(Γ), K*为K的伴随算子.设μn(K?K)表示K?K按降序排列的第n个奇异值, K?K的奇异值的衰减速度是其中0 ρ 1.符号A B的含义是:存在常数c 0使得不等式A cB成立.由于K是紧算子,所以Cauchy问题是不适定的.我们将采用Tikhonov正则化技术与投影法相结合的策略求解紧算子方程(18).设定义如下:记y = (f,g).最终Cauchy问题转化为求解vNα∈TN,满足方程称上述算法为求解Helmholtz方程Cauchy问题的投影法.方程(19)的解存在且唯一,而且投影法是稳定的.定理5设y∈K H2(?BR) .任给ε 0,存在N = N(α,ε),以及有限维空间TN中的函数 II.三维情形假设k2不是??在BR上的Dirichlet特征值.记x的球坐标表示为(r,θ,φ),其中r 0,θ∈[0,π],φ∈[0,2π]. 由于在BR外, Helmohltz方程辐射解可以表示成级数和的形式,所以与二维情形类似,我们把Cauchy问题转化为算子方程的求解.记Λ依旧表示Dirichlet-to-三维Cauchy问题也转化为求解算子方程空间H3(?BR)中内积的定义繁琐,计算复杂.为了解决这些困难,我们引入单层位势算子S.令最终, Cauchy问题转化为寻找具有如下级数展开形式的密度函数满足算子方程那么,算子方程(20)的解为算子T具有如下性质: 定理6 T : L2(?BR)→[L2(Γ)]2是紧算子. 定理7记T?T按递减序列排列的第n个特征值为μn(T?T),它的衰减速度为其中0 ρ 1.这里T?表示算子T的伴随算子.由于紧算子方程的求解是不适定的,所以我们采用投影法求解方程(22).设,定义如下:紧接着,定义投影算子PN : L2(?BR)→TN:任给求解紧算子方程(22)的投影法为:求解vNα∈TN,满足方程PN(αvNα+ T?TvNα) = PNT?y. (23)在数值计算中,选取vnm = (anY(kn mR))3;m = ?n,···n,0≤n≤N作为TN中的基底,投影法转化为求解关于(23)的解vNα= N系数的线性代数方程组后,我们得到了算子方程(20)的近似解 在第四章中,我们针对Maxwell方程组Cauchy问题的求解提出了快速、有效的数值计算方法. 记= BR为R3中以原点为圆心半径为R的球.在BR内包含所有电磁场的放射源和影响因素.Γ是?BR上的子集.考虑利用部分边界Γ上的电场切向量值f和磁场切向量值g反演R3 \ BR上的电磁场.用数学语言表述为:求解Maxwell方程组的辐射解E = (E_1,E_2,E3_)、H = (H_1,H_2,H_3)∈C(R~3 \BR)∩C1(R3 \BR) 3满足Cauchy条件ν×E = f,ν×H = g,于Γ, (25) 其中ν表示边界Γ上的单位外法向量, f = (f1,f2,f3)和g = (g1,g2,g3)是切向量空间中的向量值函数.记定义算子K : H2(Div;?BR)→L2t(Γ) 2, 设λ∈H2(Div;?BR)可以展开成级数形式对于m = ?n,···,n, n = 1,2,···, Mnm (x)和Nnm (x)表示向量波函数.因此,我们仅需求解向量值函数λ满足算子方程Kλ= (f,g). (31) 定理8 K :是紧算子. 定理9记Γ的测度为meas(Γ), K?为K的伴随算子.设μn(K?K)表示K?K按递减顺序排列的第n个奇异值, K?K的奇异值的衰减速度是其中0 ρ 1. 设定义为接着,定义投影算子PN : H2(Div;?BR)→TN,其中 求解Maxwell方程组Cauchy问题的数值方法是:求解满足方程PN(αI + K?K)vNα= PNK?y. (33)这等价于求解vNα系数所满足的代数方程组 在本章的最后,我们对投影法进行了数值模拟,数值试验结果显示该算法是稳定的,在保证计算精度的同时,节省了大量的计算时间.第五章主要研究了半空间Rd+(d = 2、3)上Helmholtz方程Cauchy问题辐射解的数值求解方法,其中Rd+ = ?→x = (x,xd)∈Rd; x∈Rd?1,xd 0 .设对于b 0,记Γ是Σb上的有界子集.令u = f,于Σ0. (34)考虑寻找Helmholtz方程满足辐射条件根据Fourier变换的唯一性和表达式(35),我们仅需要利用Cauchy数据反演波场的初值f,即求解函数满足方程Kf = (p,q). (37) 通过严格的数学分析,我们不仅证明了K是紧算子,而且得出K的奇异值具有如下的收敛阶: 定理10设n 1,记μn(K?K)表示算子K?K按递减顺序排列的第n个奇异值,它的衰减速度是假设初值f具有紧支集, suppf ? BL,其中对于二维情形BL = x∈R; |x|≤L , 对于三维情形BL = (x1,x2)∈R2; |x1|,|x2|≤L .定义L2(Rd?1)上的截断算子PL:投影算子PLN : L2(R)→TN的定义是其中对于f∈L2(R), PLf可以展成级数形式PLf =求解半空间上Cauchy问题的投影法是:求解投影算子方程PLN (αfNα, L+ K?KfNα, L) = PLN K?y. (38)同理,对于三维情形,设n,m∈Z,定义函数 在实际计算中,三维半空间上的Cauchy问题也转化为求解投影算子方程(38). 投影算子方程(38)的解存在且唯一.以二维情形为例,我们给出了利用带有正则化策略的投影法求解Cauchy问题的数值算例,数值结果表明投影法是有效的、稳定的. 在第六章,我们针对半空间上Helmholtz方程Cauchy问题,提出了一种新的数值求解方法–带有正则化技巧的Gauss–配置法. 考虑求解Helmholtz方程Cauchy问题的辐射解u∈H1(R+d)∪H0(Rd+)满足方程组其中u(x,0) = f(x)对于x∈Rd?1,波数k 0,ν表示边界Γ上的单位外法向量,p、q∈L2(Γ).与第五章相同,通过引入紧算子K, Cauchy问题转化为求解紧算子方程Kf = (p,q). (40)设b 0,记Σb上的向量为(x,b),集合Γ= (x,b); x∈I .由于仿射变换y = d 2?x c ? dc +? dc可以将任意区间[c,d]映射到[?1,1]上,所以不失一般性,我们假设suppf ? [?1,1]和I = [?1,1].为了便于区分积分的位置,令y、t、s表示{(x1,x2)∈R2;x2 = 0}上的元素, x表示测量Cauchy数据的区间I上的元素.取N∈N和M = 2N.考虑利用ρ在N阶Legendre多项式PN的N个零点x1N ,xN2 ,···,xNN上的测量数据,反演波场初值f在配置点y1M ,y2M ,···,yMM上的函数值,其中选取的配置点是M阶Legendre多项式PM的M个零点.因而假设Cauchy数据p、q∈C(Γ),函数f∈C(Rd?1)是紧支集的.记TN := span Pn;1≤n≤N ?1 表示所有次数不超过N?1的多项式构成的空间,相应的插值算子IN : C[?1,1]→TN定义为表示Lagrange插值基函数. 记INx和IMy分别表示对不同变量x, y的插值算子,令求解Helmholtz方程Cauchy问题的带有正则化技巧的配置法是:求解fMα∈TM满足法方程(αE + KN?KN)fMα= KN?INxρ, (42) 其中E表示单位算子.方程(42)的解存在且唯一,而且该配置法是收敛的,即:定理11设m∈Z+,若f = K?Kz∈ 定理12假设f = K?Kz∈K?K Hm([?1,1]) ? Hm([?1,1]),方程(43)的解fMα,δ与精确解f之间的误差是特别的,选取正则化参数α(δ,N) = zδm + z m(WN ?m 1)m 21 ,其中W m = p m + q m + z m,则有对于三维情形, x = (x1,x2)、y = (y1,y2)、s = (s1,s2)、t = (t1,t2)表示R2中的向量, (x,b)表示Σb上的元素.取b 0,记Γ= (x,b); x∈I .同二维情形类似,假设suppf ? [?1,1]×[?1,1]和I = [?1,1]×[?1,1].为了便于区分积分的位置,令y、t、s表示{(x1,x2,x3)∈R3;x3 = 0}上的元素, x表示测量Cauchy数据的区间I上的元素. 取N∈N和M = 2N. ?1 x1N ,1 xN1 ,2··· x1N ,N 1表示N阶Legendre多项式PN的N个零点.记ΦN,M = (x1N ,n,x2M ,m); n = 1,2,···,N, m = 1,2,···,M .考虑利用ρ在ΦN,M上的测量数据,反演波场初值f在配置点ΦM,M上的函数值.记TN,M := span Pn(x1)Pm(x2);1≤n≤N ?1, 1≤m≤M ?1表示所有关于x1次数不超过N ? 1,关于x2次数不超过M ? 1的二元多项式构成的空间,相应的插值算子IN,M : C(I)→TN,M定义为其中LnN,,mM (x1, x2) = (x1 ? xP1N N,n()xP1N)(x1N ,n)·(x2 ? x2MP M,m()xP2M)(x2M ,m)表示二元Lagrange插值基函数.记INx,M和IMy,M分别表示对x, y的插值算子,令引入新的算子KN : L2(I)→[TN,M]2, 求解三维问题的Gauss–配置法是:求解fMα,M∈TM,M满足法方程(αE + KN?KN)fMα,M = KN?INx,Mρ. (45) 在本章的最后,我们通过一些数值算例验证了配置法的有效性和稳定性,数值结果表明该算法不仅效率高,而且精度高.


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