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解非线性方程的若干迭代方法及其收敛性分析

刘天宝  
【摘要】:非线性科学的研究几乎涉及了自然科学和社会科学的各个领域,而非线性方程的近似解问题是非线性科学中的一个重要研究分支,因此,研究非线性方程的求解方法有着十分重要的意义. 第一章是前言,主要介绍非线性问题的研究意义和迭代方法的背景及其现状. 第二章给出了三个结果.首先,利用三次多项式结合单点相关信息,构造出一族带有三个参数的三阶收敛迭代方法,收敛性分析和数值实验结果表明该族迭代方法与其它三阶收敛方法相比具有一定的优势.其次,提出一族带有一个参数的四阶收敛预估-校正迭代方法,该方法不需要计算函数二阶导数,通过收敛性分析,数值实验结果表明,与著名的几种四阶方法相比,该族迭代方法具有一定的竞争力.最后,提出一族五阶收敛迭代方法,该方法利用多项式逼近,再结合单点处凹凸性条件,构造出避免计算函数的二阶导数的迭代格式,给出了相应迭代方法的收敛性分析和数值实验结果,以此来证明新构造的迭代方法的稳定性和有效性. 第三章提出一族Chebyshev-Halley迭代方法的变形.利用二次多项式在单点处近似逼近,结合单点处的切线条件,得到函数二阶导数的近似估计,将其应用到经典Chebyshev-Halley迭代方法中,我们得到了一族带有四个参数的至少三阶收敛的迭代方法,特别的,当选取一定的参数时,方法可以达到超三阶和四阶,接着我们给出了收敛性定理和数值实验结果,表明我们的方法具有一定的有效性和稳定性. 第四章提出一族带有三个参数修正的Cauchy迭代方法.该方法不需要计算函数的二阶导数,而且至少三阶收敛,当选取一定的参数时,方法可以达到超三阶和四阶.我们给出了收敛性定理和数值实验结果,表明我们的方法具有一定的有效性. 第五章介绍两个结果.第一是通过使用曲率圆的相关信息而推导出一族带有参数的三阶收敛迭代方法,该迭代方法避免计算函数的二阶导数,我们把该族迭代方法推广到了多维情形,给出了收敛性分析的证明,最后通过数值实验例子的验证,得出该族迭代方法具有一定的有效性和竞争力.第二,提出了一族带有参数的预估-校正迭代方法,该族方法不仅避免计算函数的二阶导数,而且具有至少三阶收敛的性质,最后通过收敛性分析和数值实验结果表明该族迭代方法具有很好的有效性和稳定性.


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