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《吉林大学》 2012年
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具非线性源的反应扩散方程(组)解的存在性和爆破

高云柱  
【摘要】:在自然界中,广泛存在着各种各样的反应扩散现象.它们的数学模型可以部分归结于对一些抛物方程(组)的研究.在流体力学,物理学,化学,相变理论,图像处理,生物种群以及渗流理论等领域,都提出了许多具有适当初边值条件的抛物方程来描绘扩散现象.近几十年来,许多学者对这些抛物方程不断研究,并取得了重大的进展. 众所周知,虽然许多扩散现象所导出的模型可以用线性方程来描述,但是许多现实模型却只有用非线性方程才能表达.用于描述这些模型的抛物方程通常具有非线性项,并且还可能具有退化性或者奇异性.虽然这些性质能够更精确地反映一些实际现象,但是也增加了研究问题的难度.例如方程的各种非线性项(扩散项,源项,边界项)都会对爆破现象起着一定的推动或者阻碍作用. 本文主要研究了一些具有非线性源的反应扩散问题.所讨论问题包括带有p(x)-Laplace算符的扩散项,非局部边界条件,局部源,局部化源,非局部源及他们之间的耦合对方程解的存在性和爆破的影响.本文共分三章,主要内容如下: 在绪论中,我们简单介绍了反应扩散方程的背景和已有研究工作,然后我们简要说明了本文的主要工作以及待讨论的问题. 在第一章中,我们研究了在非局部边界条件下,某些扩散方程解的存在性和爆破问题.这类局部源及局部化源具有复杂程度不同的非线性性质.我们克服了这些非线性项给研究问题所带来的困难,利用上下解和比较原理等方法,最终证明了解的存在性和有限时刻的爆破性. 在第一章的第一部分,我们讨论的是如下具有局部源和非局部边界条件的多方渗流方程: 其中m1,a0,n0,p≥0及q0都是常数,Ω是RN(N≥1)上的有界区域并具有光滑边界(?)Ω,x0∈Ω是固定点k(x,y)≠0是非负连续函数,这里x∈(?)Ω且y∈Ω,初始值u0(x)为正的连续函数.注意到方程(1)具有非线性局部源与局部化源的乘积项upuq(x0,t)和非局部边界条件u(x,t)=∫Ωk(x,y)un(y,t)dy,这给我们研究问题带来了一定的困难.我们所采取的办法是利用比较原理,并通过构造上下解获得了解存在性和爆破性的一些结果.我们所获得的主要结果为: 定理1假设∫Ωk(x,y)dy=1,x∈(?)Ω.则当p+q≤1且0n≤1时,问题(1)的每一个解整体存在,同时p+q1及n=1时,解在有限时刻爆破. 定理2假设∫Ωk(x,y)dy1,x∈(?)Ω.则当p+q1,n≥1且u0(x)足够大时.问题(1)的解在有限时刻爆破. 定理3假设∫Ωk(x,y)dy1,x∈(?)Ω. (ⅰ)如果p+qm且0n≤1,则问题(1)的每个解整体存在; (ⅱ)如果p+q=m且0n≤1,若a是充分小的,则问题(1)的每个解整体存在; (ⅲ)如果p+qm且n≥1,则若u0(x)或a较小,那么问题(1)的解u(x,t)整体存在,同时若u0(x)足够大,那么u(x,t)在有限时刻爆破. 定理4假设p+q≥m,则如果u0(x)和a充分大,问题(1)的解在有限时刻爆破. 接着,在第一章的第二部分,我们进一步讨论了具非局部边界条件和非局部源的多方渗流方程: 其中m1,a0,p0,q≥0均为常数,Ω∈RN(N≥1)是有界区域,具有光滑边界,k(x,y)≠0为(?)Ω×Ω上的非负连续函数,u0(x)是正的连续函数.我们证明了该问题解的存在性和爆破性.我们所获得的主要结果为: 定理5假设Ωk(x,y)dy=1,x∈(?)Ω.则当p+q≤1且0n≤1时,问题(2)的每一个解整体存在,同时p+q1及n=1时,在有限时刻爆破. 定理6假设∫Ωk(x,y)dy1,x∈aΩ. (i)如果p+qm且0n≤1,则问题(2)的每个解整体存在; (ii)如果p+q=m且0n≤1,若a是充分小的,则问题(2)的每个解整体存在; (iii)如果p+qm且n≥1,则若u0(x)或a较小,那么问题(2)的解u(x,t)整体存在,同时若u0(x)足够大,那么u(x,t)在有限时刻爆破. 最后,在第一章的第三部分,我们还讨论了具非局部边界条件和局部源的非线性抛物方程: 其中0m1,a0,n0是常数,Ω是RN(N≥1)上的有界区域,具有光滑的边界,k(x,y)(?)0为(?)Ω×Ω上的非负连续函数,u0(x)是正的连续函数.我们证明了该问题解的存在性和爆破性.假设: (A1)f∈C([0,∞))∩C1(0,∞)使得f(0)≥0并且f'(s)0,s∈(0,∞). (A2)f在(0,∞)上是凸函数,并且对某个 我们所获得的主要结果为: 定理7假设(A1)成立,且∫Ωk(x,y)dy≤1,x∈(?)Ω.(ⅰ)如果0n≤1,且a足够小,则问题(3)的解是整体存在的;(ⅱ)如果n≥1,f(s)=o(s),s→0而且u0(x)充分小,则问题(3)的解是整体存在的. 定理8假设(A1)-(A2)成立,如果a充分大或u(x0)足够大,则问题(3)的正解在有限时刻爆破. 在第二章中,我们在第一章研究常指数的基础上,讨论了具变指数和非局部边界条件的扩散方程解的存在性和爆破性,也研究了具变指数的非线性扩散方程组的初边值问题.在第二章中,针对源项的复杂性,我们进行了更细致的讨论,最终得到了解的存在性和爆破性等结果. 在第二章的第一部分,我们研究了如下具变指数及非局部边界条件的扩散方程: 其中Ω(?)RN是有界区域且具有光滑边界(?)Ω,p0且l0.这里c(x,t)≥0是一个定义在x∈Ω且t≥0上的局部Holder连续函数,k(x,y,t)≥0是一个定义在x∈(?)Ω,y∈Ω且t≥0上的连续函数.初值u0(x)≥0是一个连续函数.我们克服了变指数非局部源和非线性边界条件所带来的困难,讨论了该问题解的整体存在性和爆破性.我们所获得的主要结果为: 定理9设Ω(?)RN是有界光滑区域,并且设max{p-,l}1,p(x)满足给定条件.则对于充分大的初值u0(x),问题(4)的正解u在有限时刻爆破. 接着,在第二章的第二部分,我们讨论了如下具变指数的非线性扩散方程组的初边值问题: 其中α0,β0是常数,Ω(?)RN是一个有界区域具有光滑边界(?)Ω且0T∞,QT=Ω×[0,T),ST定义为QT的外边界.源项的形式是f(v)=vp1(x)和g(u)=up2(x). 其中指数p1(x),p2(x):Ω→(1,+∞)满足下列条件:我们研究了在这类源项条件下,该问题解的存在性和爆破性.我们所获得的主要结果为: 定理10设Ω(?)RN是一个有界光滑区域,p1(x),p2(x)满足条件(6)和(7),且假设u0(x)和u0(x)是非负连续有界函数.则存在T0,0T0≤∞,使得问题(5)在QTo上有一个非负有界解(u,v). 定理11设ΩRN是一个有界光滑区域,且(u,v)是问题(5)的一个正解,指数p1(x),p2(x)满足条件(6)和(7).则,对充分大的初值(u0(x),u0(x)),存在有限时间T*0使得sup0≤t≤T*|||(u,v)|||=+∞. 最后,在第二章的第三部分,我们考察了如下具变指数的非线性抛物及双曲方程组的初边值问题: 其中Ω(?)RN是有界区域具有光滑边界(?)Ω,且0T∞,QT=Ω×[0,T), ST定义为QT的外边界,指数p1(x),p2(x)是给定的函数满足条件(6)和(7).源项的形式分别是f1(u,v)=a1(x)vp1(x)和f2(u,v)=a2(x)up2(x), 或者 以及 源项的形式分别是f1(u,v)=a1(x)up1(x)和f2(u,v)=a2(x)up2(x), 或者其中连续函数a1(x),a2(x):Ω→R满足下列条件: 0c1≤a1(x)≤C1+∞,0c2≤a2(x)≤C2+∞(10)我们所获得的主要结果为: 定理12设Ω(?)RN是一个有界光滑区域,(u,v)是问题(8)的一个正解,并且p1(x),p2(x),a1(x),a2(x)满足条件条件(6)、(7)和(10).则问题(8)的解在有限时刻T*爆破,如果初始值(u0(x),u0(x))满足 其中φ是Ω上的第一特征函数,C仅依赖于区域Ω和C1,G2的一个固定的正常数. 定理13设(u,v)∈C2×C2是问题(9)的解,并且条件(6)、(7)和(10)成立.则存在充分大的初始值u0,v,u1,v1使得问题(9)的任何解在有限时刻T*爆破. 在第三章中,我们讨论了两类具变指数高阶扩散方程解的存在性和爆破性,由于不能使用通常的比较原理,给问题带来了一定困难. 首先,在第三章中的第一部分,我们考察了如下的高阶扩散方程的初边值问题: 其中Ω(?)RN是有界区域且具有C1,1的边界(?)Ω,QT=Ω×(0,T],ST定义为QT的外边界,α0是参数.指数p(x),q(x)∈C(Ω)具有连续对数模且满足: 我们得到如下主要结果: 定理14设u0(x)∈H01(Ω)∩H2(Ω),且p(x)≥q(x)满足条件(12).则初边值问题(11)至少有一个解. 定理15设p(x)g(x)≤p+1满足所给条件(12).则初边值问题(11)至少存在一个弱解. 接着,在第三章的第二部分,我们研究下列具变指数非线性高阶伪抛物方程的初边值问题:其中Ω(?)RN有界区域具有C1,1边界(?)Ω,QT=Ω×(0,T],ST定义为缸QT的外边界,μ0是黏性系数,α0是参数,μ(?)△u/(?)t作为插入的黏性相关能量.变指数p,g:Ω→(1,+∞)是连续函数.我们得到如下主要结果: 定理16假设u∈W且p(x)≥g(x)足条件(12).则,问题(13)至少存在一个弱解. 定理17设u0(x)∈H01(Ω)∩H2(Ω),且p(x)≥q(x)≥max{1,2N/N+2}满足条件(12).则初边值问题(13)至少存在一个解. 定理18假设满足条件(12).则问题(13)至少存在一个弱解.
【学位授予单位】:吉林大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2012
【分类号】:O175.26

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【参考文献】
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【共引文献】
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